El concepto de tiempo cíclico

Este miércoles 19 de octubre de 2011 presenté una conferencia en el Departamento de Física de la Universidad de Sonora. Oficialmente ésta no existe, pues en su sistema de tomas de decisiones por razones afectivas, los encargados de la difusión dentro de la institución en que trabajo no publicaron sobre esta actividad, que como pronto verán, es muy interesante.

A la conferencia que dicté se le pretende aplicar la misma lógica que a la matanza de las bananeras relatada por Gabriel García Márquez en “Cien Años de Soledad”. Cuando el sobreviviente relataba que habían sido más de tres mil los muertos, todos en Macondo afirmaban que allí no había pasado nada.

En mi conferencia hablé del concepto del tiempo de las civilizaciones antiguas, haciendo ver que la forma más inmediata en la que éste se percibe es como algo que se puede representar en curvas cerradas y no como un punto que se mueve a tasas constantes en una recta de números reales que viene de menos infinito y va hacia mas infinito.

Inicié con la advertencia de que el tiempo es un concepto muy complejo y que existe una concepción moderna de éste, conforme al cual se trata de un escalar asociado con el movimiento.

Dicho de otra forma, si no hay movimiento, no puedes hablar de tiempo, y a la inversa, para hablar del movimiento necesitas al tiempo. En otras palabras, forman una pareja indisoluble.

Otra de las condiciones que el tiempo tiene que cumplir es que debe fluir y distinguir el pasado del futuro.

Además, debe permitir el establecimiento de instantes de menor a mayor.

Si tu estudias teoría de funciones, puedes reconocer que se trata de las propiedades de la recta de los números reales, tal que el tiempo es un punto moviéndose por esa recta a tasas constantes.

Hasta este punto, parecería que todo está muy claro, y podríamos decir, como lo dijo Richard Feynman, que no nos importa saber qué es el tiempo, sino cómo medirlo.

Esta actitud de Richard Feyman es típica del pragmatismo estadounidense, pero no es lo más recomendable si se desea comprender qué significa el tiempo.

Por ejemplo, una de las aportaciones fundamentales de Albert Einstein en su teoría de la Relatividad Especial es que asigna un carácter objetivo al tiempo en cada sistema de referencia inercial. Con esto quiero decir que significa la misma medida, y el mismo ritmo de los relojes, para todos aquellos experimentadores que se encuentren en ese mismo sistema de referencia.

Esta posición de Einstein hizo la diferencia respecto a los físicos que le precedieron en el descubrimiento de muchas de las expresiones matemáticas que él encontró en su memorable artículo de 1905. Por ejemplo, Hendrik Lorentz y Henry Poincaré, solamente le asignaron al tiempo en los distintos sistemas de referencia el carácter de parámetros matemáticamente útiles.

Sabemos también que las mediciones realizadas en distintos sistemas de referencia inerciales están relacionadas por expresiones matemáticas, pero aquí empieza la polémica. Para los físicos con posiciones filosóficas que llamamos realistas, se trata de relaciones objetivas; en cambio para quienes adoptan la filosofía del idealismo subjetivo, sucede exactamente lo contrario. Por ejemplo, para Kurt Gödel, un tiempo relativo no podía ser objetivo.

El tema es francamente complejo, pues al considerar las teorías físicas en su conjunto, aprendemos que tanto para la mecánica clásica, como para le mecánica cuántica, sean estas las versiones válidas a bajas velocidades comparadas con la de la luz, o bien la versión relativista, que es correcta para cualquier velocidad de un móvil, ocurre que cuando se cambia la variable tiempo “t” por “-t”, no pasa nada. Es decir, las ecuaciones de movimiento de las partículas son invariantes ante cambios en el tiempo.

¿Entonces por qué hay diferencia entre pasado y futuro? La respuesta nos la da la termodinámica con su segunda ley, pero ésta, desde el punto de vista de la física estadística, significa que la diferencia entre pasado y futuro es producida por el hecho de que se trata de un efecto colectivo de muchas partículas.

Otro enredo peor se forma cuando, desde el punto de vista de la interpretación ortodoxa de la Mecánica Cuántica, resulta que a nivel microscópico el tiempo no existe, dejando como única opción que éste exista en sentido macroscópico.

Hechas las advertencias anteriores, que indican la importancia de hablar acerca de la filosofía, pasé a explicar algunas fotografías que tomé en los últimos diez meses, mismas que me permiten afirmar que es posible organizar un centro de difusión de la ciencia y de promoción del estudio de la historia antigua de los habitantes de la América del Norte

En las dos fotos anteriores tomé fotografías de la salida del Sol en las fechas que se indican. Se trata del solsticio de invierno, cuatro días antes de navidad y del día en que inició la primavera (aproximadamente) en 2011. Puede verse que el punto donde amaneció el Sol se movió hacia la izquierda. Es decir, hacia el norte.

En la siguiente diapositiva presente dos fotografías más. En la de la izquierda se aprecia que tuve que cambiarme de lugar porque el Sol apareció tan al norte, que una pared me estorbó para tomar mi fotografía. Nótese que el punto donde salió el Sol seis meses antes ni siquiera aparece. La verdad es que habría necesitado una cámara con un lente especial para poderlo captar.

En cambio, en la fotografía de la derecha tengo la imagen del 21 de septiembre. Se puede ver que el Sol sale detrás del arbolito, igual que seis meses antes. El punto del amanecer se devolvió. Después de avanzar hacia el norte, se regresó el 21 de junio.

El Sol sale por donde mismo, pero no es la misma foto, como puedes apreciar porque en la del 21 de septiembre ya hay pasto que nació como consecuencia de las ligeras lluvias de verano.

Los antiguos habitantes de la América del Norte se percataron de todo lo anterior. De aquí resulta que se puede medir cuántos días tiene el año por el método de observar por dónde sale el Sol. Así surgen los llamados calendarios de horizonte. Pero hay algo más, de aquí no se concluye que podemos representar el tiempo con base en la recta de los números reales, como dijimos antes.

Todavía hay algo más. Me puse a medir en la foto dónde salió el Sol el día 17 de octubre de 2011. está señalado con una flecha que dice “real”. Si llamamos 100% al punto donde saldrá el Sol el próximo 21 de diciembre, ocurre que el lunes pasado apareció a una distancia que es de más del 38% con respecto al total que deberá recorrer.

Sin embargo, si el movimiento de ese punto ocurriera a tasas constantes, debería haber estado en el 28.5%, como se indica con la línea verde y la flecha correspondiente. Ocurre algo similar a lo que sabemos que sucede con la lenteja de un péndulo, que avanza más rápido cerca del punto del equilibrio y más lento en los extremos. En este caso, el sitio detrás del arbolito es por donde pasa más rápido. Es cuando ocurren los equinoccios.

¿Qué es lo que esto significa?

Que la idea de avance a tasas constantes del punto con el que representamos al tiempo en la recta real, tampoco aparece directamente a partir de las observaciones de la vida cotidiana.

Lo anterior demuestra que la idea de un tiempo representable en ciclos, con tasas variables, es una conclusión más obvia.

¿Por qué no utilicé el atardecer?

Por una razón práctica. En las dos fotos que sigue se presenta lo que teníamos el 21 de diciembre de 2010. Enseguida la de seis meses después. En diciembre el Sol se puso a un lado de una torre de comunicaciones, en tanto que en la de la derecha se ve dónde se metió el 21 de junio. El camino de terracería indica la enorme diferencia. De nuevo, cuando tomé la foto de la derecha ya no apareció la torre, que había quedado muy al sur como para salir en la fotografía.

Se puede ver que no tengo disponibles accidentes naturales, de modo que habría necesitado una técnica similar a la utilizada por los Mayas en Yucatán, de la cual hablé posteriormente.

Enseguida pasé a otro asunto ¿cómo buscar el norte?

No te creas el cuento de la brújula, la realidad es que la brújula es una mala idea para encontrar el norte con precisión. Ninguna civilización confió totalmente en ella, pues nada más una aproximación útil cuando se necesita saber con urgencia hacia dónde está el norte. Es el caso de los marineros que superaban vientos rápidos en sus barcos de vela y tenían cielo nublado. Cuando no tienes una necesidad urgente, toma todo con calma y usa el método del gnomo, que consiste en una estaca clavada en el suelo y colocada de manera vertical. Se usan dos curvas, una en la que registras la punta de la sombra de la estaca conforme pasa el día, y otra que es un semicírculo trazado por tí.

Revisa dónde se cruzan, traza una línea entre ambos puntos y busca el centro. Enseguida dibujas la línea blanca que ves, desde el pie de la estaca hasta el punto medio que has encontrado. Así se ubica el norte.

Este método lo he usado con niños de pimero y de segundo grado de primaria y funciona muy bien. Puede servir también para que niños de quinto o sexto año de educación primaria, pero pidiéndoles que estudien los triángulos que se van formando allí.

Tratándose de niños de secundaria se les puede pedir la medición de ángulos por medio de técnicas de la trigonometría. Calcular las dos velocidades angulares que se pueden considerar y aprender en la práctica que los conocimientos de matemáticas sí sirven.

También es posible construir un reloj solar, lo cual constituye un proyecto más complicado. Apropiado para estudiantes de bachillerato.

¿Cuál es mi propuesta? Aprovechar esta clase de actividades para atraer a los estudiantes hacia una preparación más profunda en matemáticas. Una motivación que les indique que realmente sirve para algo.

También se puede aprovechar para que aprendan a valorar a las etnias de la América del Norte, donde este método se manejó con altísima precisión.

Enseguida hablé de la cultura Anasazi, que floreció en lo que ahora es el Estado de Nuevo México y parte del que hoy es Arizona. Hay muchos observatorios en el Cañón del Chaco y enseguida mencioné dos asuntos muy interesantes sobre ellos. Observa el mapa, pero si escribes Chaco Canyon, vas fácilmente al sitio oficial que busca preservar lo que aún queda de esta cultura. Además, tratan de rescatar su historia. Allí hay ilustraciones excelentes y fotografías de gran calidad.

Los habitantes prehispánicos de esta región, que ahora es el sureste de los Estados Unidos, subían al cerro que se aprecia en la fotografía de la siguiente diapositiva, y en un farallón que se encuentra en la cara este, como se ve en la foto de la derecha, labraron dos espirales en la piedra y colocaron tres losas como se ve en el dibujo que se encuentra abajo a la derecha

El acomodo de las losas permitía pasar la luz a través de las rendijas, dibujando sobre las espirales figuras iluminadas con la forma de dagas. Los solsticios de verano, equinoccios de septiembre y solsticios de invierno, eran detectados como se ve en los dibujos que siguen en la próxima diapositiva.

El juego de luces mostraba una daga atravesando el centro de la espiral cada solsticio de verano (aproximadamente el 21 de junio de nuestro calendario). Tres meses después, en el equinoccio de otoño, la daga se colocaba hacia la derecha y aparecía una nueva daga, más pequeña, en la espiral de menor tamaño del lado izquierdo y hacia arriba, como se puede ver en la figura de enmedio. Finalmente, los solsticios de invierno eran detectados porque las dos dagas que habían aparecido tres meses antes se acomodaban en forma tangente a la espiral, como se ve en la figura de abajo a la derecha de la diapositiva.

Con este fenómeno repetitivo los sabio de la cultura Anasazi lograron detectar el tiempo y medirlo. Así podían predecir las temporadas en que se realizarían las distintas actividades necesarias para su sobrevivencia. En su concepción del mundo, los rituales que nosotros llamamos religiosos están tan ligados a su vida cotidiana, que no los diferencian de los aspectos prácticos. De acuerdo a las personas que han estudiado esta cultura, no existe en su lengua una palabra que nosotros podamos traducir como religión.

En otro sitio del mismo Cañón del Chaco se encuentran unas ruinas como las de la diapositiva siguiente. Aunque la mayor parte de la construcción ya está derrumbada, aún se aprecia lo suficiente como para que los expertos comprendan, y nos expliquen, que aquí se se medía el avance de las fechas estudiando la evolución de la sombra en las paredes.

Mucho más interesante es la construcción de Casa Rinconada,donde un sistema de nichos en las paredes del oeste de esta estructura circular permite prever, desde siete semanas antes, la llegada del solsticio de verano. Esto se lograba porque una ventana en el lado este dejaba pasar la luz para que se iluminara el nicho que estamos marcando con el número 25.

Después, ya en el solsticio de verano, la luz del Sol entraba por dicha ventana para iluminar el nicho marcado con la letra E.

Dejamos el tema de la civilización Anasazi para pasar al México Antiguo. Al sur de Cuernavaca, en el Estado de Morelos, se encuentra un sistema de pirámide que tiene en sus paredes unas grabaciones que, de acuerdo a los expertos, relatan la realización de un congreso científico en ese sitio. Al parecer, el propósito fue el estudio del calendario, y por supuesto, el aprendizaje acerca de cómo proceder para marcar el tiempo en cada sitio, pues como sabemos ahora, depende de la latitud. El ángulo que se mide con respecto al ecuador.

Un mapa del sitio donde se encuentra Xochicalco se aprecia a continuación.

En la parte superior del cerro se encuentra la pirámide mencionada. Una fotografía de la misma se ve arriba a la izquierda. A un lado de esa pirámide se construyó en la antigüedad una cámara oscura que registra el paso del Sol por el cenit y permite señalar las fechas que se indican en el dibujo de la derecha.

Así, los habitantes del México Antiguo optaron por registrar un hecho que se presenta únicamente en la franja de la Tierra que se encuentra entre el trópico de Capricornio y el de Cáncer. Al sur de la primera línea, o al norte de la segunda, nunca ocurre.

Este hecho fue tan importante para las civilizaciones mexicanas que existe un observatorio para registrar el cenit justo en el paralelo conocido como trópico de cáncer, de donde resulta que tenían clara conciencia de la dependencia de latitud en las observaciones que hacían.

El avance de los Mayas es un punto cúspide del conocimientos de los habitantes del México Antiguo, En el caso de Chichén Itzá, Antonio Aveni, entre otros investigadores, ha encontrado que la forma del observatorio astronómico que conocemos como el Caracol, tiene perforaciones alineadas para seguir los movimientos de Venus. Sus posiciones fueron registradas en el llamado Código de Dresden y durante muchos años se han estudiado sus tablas y sus reglas de corrección de posiciones predichas en ellas.

En la diapositiva que sigue se puede apreciar una gráfica hecha por Ivan Sprajc, en la que consigna el movimiento de los puntos más altos en el horizonte alcanzados por Venus, refleja la complejidad del problema y plantea la pregunta acerca de las razones que motivaban a los sabios mayas a realizar estos esfuerzos. El recurso fácil de que eran objetivos religiosos es solamente una parte de la respuesta. Toda la visión cosmogónica de esta civilización no debe restringirse a una frase que evade penetrar en el tema. Para nuestro interés en la plática impartida, el punto fundamental está en que estaban marcando ciclos de Venus para representar otra rueda del tiempo.

Mientras los Anasazi recurrieron a gravar en la piedra y a colocar el sistema de tres lozas, o a la estructura de Casas Rinconada; los Mayas, evidentemente una civilización más antigua y desarrollada, alinearon pirámides enteras y templos más pequeños, que les servían para detectar las líneas de salida del Sol el 21 de junio de cada año (solsticio de verano) y también el 21 de diciembre. En medio de los dos solsticios, los equinoccios del 21 de septiembre y del 21 de marzo estaban señalados por otro templo más. Claramente tenían conciencia del rango en que se movía el punto de salida del Sol y de la rapidez con que esto ocurría.

De los hechos anteriores no es directo concluir que el tiempo tiene las propiedades que le asignamos cuando lo relacionamos con la recta de los números reales.

Yucatán es un territorio muy plano, de modo que recurrir a accidentes en el terreno, como los cerros, no es un recurso disponible. En este caso, como nos explica Antonio Aveni, los observadores del cielo en el México Antiguo recurrieron a la alineación de horquillas separadas al menos cien metros, para registrar la traslación del punto por donde amanecía el Sol y realizar movimientos de una de las horquillas para ir actualizando la alineación. La precisión que lograron los Mayas en la medición del tiempo, usando esta clase de métodos, es impresionante como se puede comprobar a partir de los siguientes datos proporcionados por León Portilla

Así mismo, George Rieke, de la Universidad de Arizona, utiliza los siguientes datos en una de las cátedras que imparte en esa institución.

La unión del tiempo con el espacio está presente en los calendarios mesoamericanos, como se ha concluido del análisis del códice Fejérváry-Mayer, que se encuentra en el museo de Liverpool en Inglaterra. Es el que presentó al lado derecho en la siguiente diapositiva. En una discusión basada en este códice, Ana Guadalupe Díaz Álvarez desarrolla una idea original de Aveni y explica que en esa obra se encuentran representados los cuatro rumbos cardinales mediante los brazos de una cruz. En el original el Oriente está situado en la parte superior, con cuatro enlaces curvos que llevan los signos de los años utilizados en el centro de México. Dichos enlaces cumplen dos papeles: el primero es conectar los puntos cardinales y el segundo es marcar los puntos del horizonte donde se coloca el Sol en los solsticios. Según Díaz Álvarez, cada brazo de la cruz, que se puede distinguir perfectamente en el códice, marca una región del espacio en que estará el Sol conforme transcurra el año.

En sus palabras, el códice Fejérváry-Mayer “... se vuelve un sistema dinámico que se activa al iniciar el movimiento del tiempo sobre el sustrato material previamente ordenado: el espacio.” Así, en la cosmogonía mesoamericana el tiempo y el espacio estarían íntimamente ligados.

A la izquierda de la misma diapositiva se muestran las ruedas dentadas que se usan para explicar el paso del tiempo y se consigna el hecho, bien conocido, de que los Mayas hacían coincidir dos calendarios, uno con ciclos de 260 días, con trece meses de 20 días cada uno; y otro de 365 días. Hacían coincidir ambos en 73 ciclos del primero y 52 del segundo, para formar 18 mil 980 días. Todo incrustado de una cuenta que ahora recibe el nombre de: la cuenta larga.

Sostengo que las vivencias y las mediciones de los pueblos del México Antiguo, incluídos allí los Anasazi, concibieron la idea de que el tiempo era cíclico, como los hechos que ocurrían en la naturaleza, a la cual ellos se consideraban indisolublemente ligados.

La profunda relación en la que estos pueblos se consideraban ligados a los fenómenos naturales está presente no solo en las construcciones de las grandes ciudades, sino también en las de los hogares, como hace ver Antonio Aveni en su libro “People and the Sky (our ancestors and the cosmos)”. A los hombres modernos nos cuesta trabajo creer que el tiempo puede ser cíclico, no solo porque estamos aculturados por casi 2 mil años de la tradición que ahora llaman occidental, sino también porque nosotros no nos concebimos ligados a la naturaleza en un sentido de fusión con ella.

Otro punto interesante es que también algunos pensadores griegos, como Aristóteles, concebía también el carácter cíclico del tiempo. Así lo hace ver Dan Falk en su libro “In Search of Time”. De allí tomo dos párrafos suyos y los inserto en la siguiente diapositiva:

La civilización occidental está ligada a la evolución del cristianismo, pero en la etapa en que esta religión se liga al poder para convertirse en la visión oficial del estado romano. Se hace entonces una selección en la que el pensamiento de Aristóteles está parcialmente presente, como ocurre con el de Platón.

En esa selección se introduce el concepto del alma proporcionada a los seres humanos por la divinidad. Hasta el punto de llegar a creer, como sucede con los racistas de la supremacía blanca, que el alma ha sido otorgada a los seres humanos, pero sin incluir a los negros.

La idea de un alma es difícil de captar, porque por un lado es entregada al ser humano por un ser inmortal, pero por otra parte, los hombres nacen y mueren, lo cual es un ejemplo, pero nada más, de que todo tiene principio y tiene fin.

En el contexto anterior se ubica la selección que se hace de las soluciones a las ecuaciones de Einstein de la Relatividad General. Aquí existe una confusión en la mayoría de los especialistas que hacen uso de ésta para tratar de comprender el universo. 

Es indispensable comprender la diferencia entre una teoría y un modelo. De acuerdo a David Hestenes, una teoría cumple un conjunto de requisitos que él expone en su libro “New Foundatios for Classical Mechanics”, primera edición. A partir de la teoría, afirma él, es posible generar modelos que expliquen fenómenos de naturales con el grado de precisión que requieran los aparatos de medición disponibles.

Sin embargo, en el abuso que se hace del lenguaje, se nos cuenta que la teoría de la Relatividad General refuerza la conclusión, obtenida por otros enfoques, de que el universo en expansión proviene de una gran explosión. Éste es un hecho muy bien documentado por los resultados científicos, pero de allí a asociar al big bang con un nacimiento del universo, en el sentido de que hubo un día sin ayer, para después pasar a considerar la presunta muerte térmica del universo, hay algo más que un salto mortal. Aquí entra ya la ideología.

En el punto anterior se ubica a la métrica de Friedmann, como aquella que nos proporciona todos los elementos necesarios para calcular la evolución en el tiempo de un factor de escala que nos indica que el universo se está expandiendo. Ésta es una verdad científica que nadie se atrevería a discutir.

Sin embargo, conviene llamar la atención sobre la cautela con la que se ha expresado el comité del Premio Nobel de Física en el año 2011. En su comunicado de prensa, afirmaron lo siguiente: “For almost a century, the Universe has been known to be expanding as a consequence of the Big Bang about 14 billion years ago. However, the discovery that this expansion is accelerating is astounding. If the expansion will continue to speed up the Universe will end in ice.

The acceleration is thought to be driven by dark energy, but what that dark energy is remains an enigma - perhaps the greatest in physics today. What is known is that dark energy constitutes about three quarters of the Universe. Therefore the findings of the 2011 Nobel Laureates in Physics have helped to unveil a Universe that to a large extent is unknown to science. And everything is possible again.”.

Tengo interés en destacar la frase que traduzco como sigue: “Si la expansión continúa a rapidez creciente el Universo terminará en hielo”. El si condicional, es importante. En la etapa actual se considera que existe una aceleración en la rapidez de la expansión, pero el conocimiento no permite afirmar que ésta es permanente.

Lo apropiado es afirmar que la Relatividad General permite generar modelos, uno de los cuales es el de Friedmann, y además, que los seres humanos que se dedican a esto, utilizan su criterio para seleccionar el número todavía desconocido de opciones que se presentan. Jirí Bicák lo ha reconocido así en su artículo “Selected solutions of Einstein field equations: their role in general relativity and astrophysics. Sus palabras las transcribo en la siguiente diapositiva

Sintetizando, la teoría de la Relatividad General produce modelos, que resultan de las consideraciones que los especialistas hacen para resolver las ecuaciones. Por ejemplo, Schwarzschild consideró un punto muy masivo, alrededor del cual el espaciotiempo es isotrópico y estático. Con eso se logra modelar todo lo que ocurre en torno a estrellas como el Sol, y también en los alrededores de agujeros negros en los que ni la carga eléctrica ni su rotación son importantes.

En cambio, si se agrega la necesidad de admitir que hay casos en los cuales la carga eléctrica es importante y el momento angular también, la métrica anterior ya no es suficiente.

Así también, para considerar el estudio del universo en expansión, se utiliza una hipótesis que casi nadie se atreve a cuestionar, la homogeneidad y la isotropía del universo. Sin embargo, esto es cierto a escalas extremadamente grandes, unas en las que cada galaxia puede ser considerada como una partícula de polvo. En todos los casos, las evidencias proporcionadas por la astrofísica nos marcan el camino a seguir, pero debe reconocerse que en la toma de decisiones hay seres humanos inmersos en concepciones personales en las que se han ido formando.

¿Cómo se trabaja en la Relatividad General? En la siguiente diapositiva planteo un ejemplo, si alguien desea más información, puede escribirme para recibir una explicación personalizada.

La métrica de Friedmann surge del conjunto de hipótesis previamente mencionadas, por eso se trata de un modelo evitable si se regresa a revisar los supuestos sobre los cuales ha sido construido. Pero no se ha hecho eso, en su lugar, se ha confundido al modelo con la teoría y se han estado intentando diferentes caminos: 1) es agregar términos extra en la ecuación que describe la velocidad de expansión e introduciendo los conceptos de materia y de masa oscura, 2) otro es reformular la teoría General de la Relatividad sobre la hipótesis de que ésta ha sido probada únicamente para nuestro sistema solar, sin embargo, hay estudios a nivel de racimos de galaxias que indican la validez de la teoría.

Mientras no se detecten la materia y la masa oscura, el problema sigue abierto. Pero el sabor a parches introducidos ad hoc es demasiado poderoso.

Hay otro problema más, que fue señalado por Natan Rosen hace más de veinte años, pero que no ha sido tomado en cuenta, el concepto de tiempo que se está manejando, supuestamente dentro del contexto de la Relatividad General, es el marco en reposo del universo newtoniano, con espacio y tiempo absolutos.

La crítica de Natan Rosen es muy suave, pero Kurt Gödel no se anduvo con rodeos, según comenta Dan Falk, expresamente afirmó que él no creía que un tiempo que resulta de un promedio sobre un volumen de tamaño arbitrario existe realmente.

En este punto yo agrego una pregunta que deberían considerar todos los físicos que defienden la Interpretación de Copenhague de la Mecánica Cuántica: ¿cuál es el observador que mide ese tiempo?

Cuando se trata de explicar el fenómeno de expansión del universo, el proceso de selección que se hace de las posibles soluciones de las ecuaciones de Einstein para el campo gravitacional, excluye a otras porque las consideramos absurdas: entre ellas cito la de Kurt Gödel y la de Kip Thorne, que escribo en la siguiente diapositiva.

Alguien dirá que no explican ninguna expansión del universo. Es verdad, en su formulación original no producen modelos de universo en expansión, pero por ejemplo, si en el trabajo de Gödel se elimina el equilibrio entre la fuerza centrífuga producida por la rotación y la gravitación misma, es posible construir modelos de universo que se expanden o se contraen. Pero entonces nos enfrentamos al comentario de que nadie ha observado que el universo rote. Pues sí, eso es verdad, pero tampoco ha encontrado nadie la materia ni la energía oscura. Así que estamos parejos. ¿Cuál es el problema?

El problema está en que la métrica de Gödel incluye itinerarios en el espaciotiempo en los que, avanzando hacia el futuro, puedes regresar a tu pasado. Eso no cabe dentro de nuestro concepto de tiempo lineal.

El problema es como sigue: en la Relatividad Especial se utilizan los conos de luz para indicar las regiones del espaciotiempo de Minkowski que contienen vectores espacialoides y temporaloides. Estos últimos son puntos que están accesibles a cualquier masa puntual que pase por el cono. El eje del cono es la coordenada tiempo.

En la Relatividad Especial todos los ejes de conos son paralelos, lo cual indica que comparten el pasado y también el futuro.

Wolfgang Rindler, autor de las llamadas coordenadas de Rindler y uno de los científicos que impulsaron el uso de los espinores en la Relatividad General, ilustra el problema de que los ejes de los conos pudieran no coincidir. Su dibujo es como se ve en la siguiente diapositiva

Los estudiosos de la obra científica de Einstein nos cuentan que desde 1912 hasta 1915 le preocupó que no podía demostrar la inexistencia de trayectorias (itinerarios) en el espaciotiempo de la Relatividad General. Después de la obra de Gödel sabemos que Einstein no pudo demostrar su inexistencia porque sí existen, como ocurre en la métrica obtenida por este matemático célebre. En ella se pueden seguir trayectorias como la de la siguiente diapositiva. Es la curva de color azul con flechas. Siguiendo conos acomodados como dicen las flechas, es posible ir pasando de un cono a otro, pero como están torcidos (no tienen ejes parelelos) el viajero avanza hacia el futuro pero puede maniobrar para ir a su pasado.

Como digo en la diapositiva, en el mundo moderno creemos en un tiempo lineal y los religiosos se atreven a decir que el big bang fue el día que no tuvo ayer, mientras que si la aceleración es permanente, entonces indica – según ellos – que habrá un día sin mañana.

Mi observación consiste en que si los Mayas hubieran sobrevivido con todo y su cosmogonía del mundo, sin la contaminación de las ideas de quienes vinieron a convertirlos al cristianismo – por las buenas o por las malas – seguramente se sentirían muy cómodos discutiendo las opciones que les ofrecerían métricas como las de Kurt Gödel, o como las estudiadas por Kip Thorne en sus trabajos sobre máquinas del tiempo.

En su libro: “Black Holes & Time Warps (Einsteinś outrageous legacy”, explica cómo se introdujo en estos asuntos, debido a una pregunta que le hiciera Carl Sagan al terminar su novela “Contacto”. Platica también cómo sus colegas se asustaron cuando se enteraron de lo que estaba trabajando con sus estudiantes. La preocupación de sus compañeros de trabajo por la salud mental de Thorne los llevó a hablar por teléfono con su esposa para saber si ella había notado algo extraño en la conducta de su marido (Thorne) en las últimas semanas.

No solo escribió este libro, además, en la revista científica American Journal of Physics hay trabajos sobre los agujeros de gusano. Es decir, publicaciones que pasaron la prueba del los réferis.

Todas las ideas que mencioné en mi conferencia sobre “El concepto de tiempo cíclico” generan discusión, pero de eso es de lo que se trata. Mi propuesta consiste en aprovechar los juegos de haces luminosos y de sombras que usaron los pobladores del México Antiguo, trabajando con sistemas hechos de madera y de cartón, en al menos un recinto oficial donde se realicen prácticas desde la infancia hasta la adolescencia. Todo con el objetivo de educar a los profesores de primaria, secundaria y bachillerato, en los contenidos que pueden regresar a los estudiantes citadinos al contacto con la naturaleza que los rodea.

También, sugerí que es posible establecer exposiciones permanentes de la historia de los avances científicos de las etnias originarias de estas tierras. Pienso que los integrantes actuales de estos pueblos estarían de acuerdo. Estoy hablando de algo similar a un museo con exposiciones de la obra científica de ellos.

Por razones ideológicas, y de intereses de clase, la derecha mexicana en el poder ha intentado desterrar a la filosofía de la enseñanza. Por eso ha encumbrado a personas cuya ignorancia es proporcional al poder que han alcanzado, por ejemplo, Antonio Gago Huguet, Secretario Académico de la Asociación Nacional de Universidades de 1977 a 1986, dice que la filosofía puede ser impartida por un veterinario. Ver entrevista a Gabriel Vargas en La Jornada: http://www.jornada.unam.mx/2011/08/09/sociedad/040n1soc)

Este hombre es uno de los artífices de las barbaridades con que se llenan la boca ahora los funcionarios supuestamente académicos de universidades y secretarías de educación, y de tantos puestos burocráticos nacidos en torno a la necesidad que tiene nuestra sociedad de educar.

Por eso pienso que la filosofía debería ser estudiada y discutida en ambientes ricos para el estudio de temáticas como las que he expuesto en mi conferencia del 19 de octubre de 2011.

Por supuesto que no creo en un proyecto que presuntamente pudiera ser aprobado por la administración actual de la Universidad de Sonora. Mandaron a un individuo a tomar fotografías mientras daba mi plática y luego no publicaron nada en el sitio de internet de su propiedad. Digo, de la Universidad de Sonora.

Están son mis propuestas, que quedan como testimonio de que es posible hacer trabajos interdisciplinarios entre tres líneas de pensamiento: la física con todo y matemáticas, la historia científica de los pueblos del México Antiguo y la filosofía, esa clase de lentes que te pones para reflexionar sobre la vida, la naturaleza y la sociedad.