Un modelo epidemiológico SIR para el caso de México (COVID-19)

Presentación del modelo

El modelo SIR recibe ese nombre porque se clasifica a la población en tres grupos: el de los individuos susceptibles de ser contagiados (S), el de los individuos que son infectados (I) y por último el de los que se recuperan.

Un aspecto importante es que se trabaja sobre dos hipótesis fundamentales: 1) se trata de población homogénea, 2) están viviendo en territorio homogéneo.

A quienes no tienen interés en los asuntos medianamente técnicos, les sugiero que se salten la lectura hasta la parte de resultados.

Data del año 1927 y ha sido de mucha utilidad para entender varias epidemias o pandemias. Debido a su sencillez, permite extraer varias conclusiones interesantes y facilita estimaciones de mediana calidad en lo que puede suceder cuando inicia un proceso infeccioso.

En más de 90 años de existencia ha sido mejorado y aumentado, como puede verse en la literatura disponible en línea. A manera de ejemplo, presento en la siguiente figura el diagrama de uno de los modelos utilizados recientemente en la Universidad Politécnica de Valencia. A partir de la figura aprovecho para explicar el modelo SIR.

En la figura encontramos que el modelo introduce 9 grupos para clasificar a la población. De ellos sólo mencionaré 5. Además de los ya mencionados conviene tomar en cuenta el grupo marcado con la letra Q, que indica los individuos puestos en cuarentena. En el caso de México, equivaldría a las personas que nos hemos mantenido en el interior de nuestras casas evitando encontrarnos con otras personas. El otro es el marcado con la letra L, que es cuando un individuo ya ha sido contagiado pero apenas está incubando la enfermedad. Los grupos que marqué con cuadros rojos son el modelo SIR que usé.

¿Por qué no recurrir al modelo de la figura si es claramente más completo? La respuesta es sencilla: el paso de un cuadro a otro ocurre con una probabilidad que no es fácil de conocer. Quien esto escribe no puede tener acceso a ninguna de esas constantes que han sido marcadas con letras griegas.

Siendo prácticos, nos quedaremos con el viejo modelo SIR, y como Ustedes verán, permite obtener resultados cualitativamente útiles. Se explica en la siguiente figura:

El cuadro de la izquierda son los individuos susceptibles de ser contagiados, lo cual puede ocurrir con cierta probabilidad que da lugar a la tasa de transición marcada con la letra b y se llama tasa de contagio. En ese caso pasa a formar parte del cuadro del centro, que corresponde a los infectados. Es posible que se recupere, lo cual ocurre con una tasa de transición que marcamos como g, su nombre es tasa de recuperación, entonces pasa a formar parte de los recuperados.

Claramente el modelo no incluye personas que fallecen, lo cual se traduce en una imperfección importante. No incluye migración ni otros fenómenos típicos de los modelos de dinámica de poblaciones. Sin embargo, tiene la ventaja de que nos dice lo que pasaría si un gobierno no actúa, o también, si habiendo recomendaciones, la población no las respeta.

El modelo SIR tiene tres ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas. Yo las aproximé con ecuaciones en diferencias finitas, tal que la unida de tiempo es un día.

Construcción de las tasas de transición

Parte del problema que enfrentan en la actualidad los modeladores es cuánto vale la tasa de contagio para el caso del virus SARS-COV-2, que es el que produce la enfermedad llamada COVID-19. 

Revisando la literatura encuentro que en Inglaterra ha causado bastante polémica porque diferentes grupos de investigación manejan distintos valores para el valor de b.

He tomado uno de esos valores para la probabilidad de contagio, es: 1/5.2. Además, se debe multiplicar por la probabilidad de que un individuo cualquiera encuentre a uno que sí está infectado.

 Si suponemos que hay un infectado en la población, entonces la probabilidad es 1 dividido entre el total de pobladores. Usando la hipótesis de población homogénea, tomé como dato la mitad de la población que vive en zonas urbanas. El criterio es que no está circulando siempre el cien por ciento de quienes vivimos en ciudades o pueblos, sino solo la mitad.

La constante g es más fácil de construir. Si una persona se recupera en 14 días, entonces esta tasa de transición es 1/14.

Resultados

Como adelanté antes, el modelo SIR nos dice lo que puede pasar si un gobierno no actúa, o también, si la población decide no tomar en cuenta las recomendaciones que se están planteando. En el caso de México frente al COVID-19 se trata de las medidas de distanciamiento entre personas y aislamiento social.

Cuando se programan las ecuaciones en diferencias con un valor dado para la población del grupo S, con solamente 1 infectado y 0 recuperados (obvio), el programa de cómputo produce cuatro columnas de datos: una con los días que transcurren, otra con las personas susceptibles, la tercera con los casos infectados y la cuarta con los individuos recuperados.

Después de eso dividí entre el total de la población para tener solamente fracciones de población. Si alguien desea hablar de porcentajes, lo único que tiene que hacer es multiplicar por cien.

Hay dos aspectos que me dan confianza sobre estos resultados. El primero es que el número de infectados (curva roja) alcanza su máximo en el día 59. Esto nos sitúa en el último día de abril, o en la primera semana de mayo, que coincide con los comentarios verbales hechos por las autoridades de salud a nivel federal. El segundo es que cumple cabalmente con una predicción obtenida mediante métodos analíticos: la epidemia se extingue antes de infectar a toda la población.

En la línea horizontal tenemos el número de días que transcurren y en la vertical la fracción de individuos con respecto al total de la población considerada. El número 1 corresponde al 100%, el número 0.5 al 50%, y así sucesivamente.

En la figura tenemos tres curvas, la azul que corresponde a la disminución de individuos del grupo S (susceptibles), la verde con los casos recuperados, y la más interesante para nosotros, que es la roja. Veamos esta última ahora.

En mi programa la infección tarda varios días en presentarse. Al principio es casi imperceptible. Inicia muy lentamente y después tiene una explosión impresionante. Súbitamente deja de crecer y empieza la disminución. Hay allí un resultado importante: se contagia el 52.4% de la población.

Otro dato importante es que la infección desaparece después de cinco meses, es decir 20 semanas.

Para valorar la validez de este último resultado conviene comparar con lo que ocurrión con la fiebre española, en 1918. En Nueva York la epidemia duró 12 semanas, con un rebote que la llevó hasta las 24 semanas. En San Francisco duró un tiempo similar, pero con un rebote mucho mayor. Las gráficas las pueden consultar en el sitio de National Geographic.

El segundo resultado se aprecia en la figura que sigue. En la horizontal tenemos la fracción de individuos susceptibles y en la vertical la fracción de infectados. Aquí la historia no ocurre de izquierda a derecha como en la gráfica anterior, sino de derecha a izquierda como indican las flechas rojas.

El relato es el siguiente: la curva parte desde el 1.0 en la horizontal y fluye hacia la izquierda. el porcentaje de susceptibles disminuye mientras la fracción de infectados va creciendo. Cuando la altura es cerca de la mitad sucede que la curva se dobla hacia abajo y el número de infectados empieza a disminuir sin haber llegado a la unidad. Como ya escribí, corresponde al 52.4% de la población.

Este resultado me recordó una declaración de la Dra. Merker, gobernante de Alemania. Dijo que se corría el riesgo de que se contagiara el 70% de la población.

Aspectos cuantitativos peligrosos

El modelo SIR nos dice que, si un gobierno no actúa, o si la población no respeta las medidas indicadas:

1.      En una población de 100 millones de habitantes se enfermarán 52.4 millones de personas.

2.      Si como estima la Organización Mundial de la Salud, en México moriría el 7% de infectados, el número de muertos serían 3.6 millones de seres humanos.