viernes, 12 de junio de 2020

De Wuhan a Corea del Sur (primeros casos de COVID-19 y un par de conclusiones)



Ésta es la segunda contribución al blog sobre la pandemia de COVID-19. Presentaré como la inactividad de las autoridades locales de Wuhan, más la cercanía del año nuevo chino, permitieron que algunos trabajadores coreanos que laboraban en esa ciudad viajaran a su país de origen. Se verá la facilidad con que este virus se contagia, y en especial, tengo interés en asentar dos conclusiones más, antes de explicar por qué pienso que la Universidad de Sonora será una fuente muy probable de rebrote. Esto último lo dejaré para la tercera contribución.

Los casos importados en Corea del Sur


Como está documentado, el primer caso del nuevo coronavirus se detectó en Corea del Sur el 20 de enero de 2020. Era el quinto día de la semana del 15 al 22 de enero que he señalado como crucial en Wuhan. Era una mujer china de 32 años de edad procedente de esa ciudad.

El segundo caso fue además el primer coreano infectado  que se detectó el día 23 en Corea del Sur. Se trató de un varón de 55 años de edad que regresó de Wuhan, donde trabajaba, y fue a una revisión por síntomas de gripa.

El 26 de enero apareció un tercer caso. Otro hombre coreano, de 54 años de edad. Este varón rentó un automóvil, visitó tres restaurantes, después un hotel, enseguida una tienda de conveniencia y al final se encontró con su familia antes de ser admitido en un hospital. Todos los sitios infectados que visitó fueron desinfectados después de que fue diagnosticado.

El 27 de enero se registró el cuarto caso. Otro hombre coreano procedente de Wuhan que arribó el 20 de enero y presentó síntomas el día 21.

El quinto caso fue detectado el 30 de enero. Un varón de 32 años de edad que trabajaba en Wuhan y estaba de regreso en su país por el año nuevo chino. Había llegado el 24 de enero.
El sexto caso fue una mujer coreana de 56 años de edad que resultó ser la primera persona que no tenía relación con Wuhan, pero había adquirido el virus cuando asistió a un restaurante con el tercer paciente

El 31 de enero se confirmó el séptimo caso. Un hombre coreano de 28 años que había regresado el 24 de enero de Wuhan, donde trabajaba. Presentó síntomas el 26 de enero y estaba ingresado en un hospital el día 28.
Calendario de los primeros casos en Corea del Sur hasta la aparición de la paciente 31
Para el 18 de febrero se habían detectado 30 casos en Corea del Sur. Todos estaban bajo atención y parecía que la cadena de contagios estaba controlada. Fue entonces cuando apareció en Daegu la paciente número 31, como se le conoce ahora en la prensa. Era una dama de 64 años de edad que había estado en contacto con personas procedentes de Wuhan. Resultó muy significativo porque a pesar de que sentía síntomas similares a los de una gripa, con fiebre muy alta, siguió atendiendo el servicio religioso de su devoción. Como se ha descrito en varias partes, realizó un viaje de ida y vuelta en un autobús junto con otros fieles de su misma creencia. Estuvieron juntos 50 minutos de ida y 50 de regreso. Con la consecuencia de que se contagiaron 23 personas que viajaban con ella. Además atendió una misa y una sesión de organización para la propagandización se la secta religiosa. El caso del autobús se narra, con apoyo de buenas figuras, en la siguiente liga de Internet:

De acuerdo a varias publicaciones, para el 19 de febrero había 70 casos y aparentemente todos estaban relacionados con la paciente número 31. Se estima que a partir de este momento las autoridades perdieron la capacidad de rastrear caso por caso, pero como veremos, ya había otras ramas de dispersión de la epidemia. Una de ellas iniciándose en Daegu.
Del caso de la paciente número 31 quiero destacar otra conclusión, además de la planteada en la primera contribución sobre este tema: los autobuses atestados, que mantienen a los pasajeros durante varias decenas de minutos, son fuente de contagio seguro y basta que sólo una persona con el virus este viajando allí.

Con la epidemia ramificándose revisamos el papel de los instructores de fitness


El caso que contaré ahora inicia con 5 instructores de danza tipo fitness que atendieron un taller sobre esta disciplina en Daegu el 15 de febrero. Para ese día el instructor A era todavía asintomático y presentó síntomas hasta el 18 de febrero. Había además los instructores que llamaremos C, D, E y F.
Del 21 al 28 de febrero, el instructor A impartió clases de danza tipo fitness en un espacio reducido y repleto de danzantes, generando más de veinte contagiados directos (primarios), mientras que estos infectaron después a más de 10 personas en contagio secundario.
El instructor C impartió sus clases en las mismas fechas, pero era una modalidad de yoga en un salón con un número mucho menor de personas (aparentemente 7) y en una actividad más relajada donde la respiración no necesita ser tan frecuente. Esto ha sido relacionado con el hecho de que el número de contagiados primarios y secundarios es del orden de la mitad de los que se le asignan al instructor A. Sin embargo, el instructor C sí infectó al instructor B, quien a su vez infectó a más personas.
Los instructores D, E y F tuvieron menos actividad e infectaron a menos personas, como se puede ver en el diagrama del artículo que se cita en la figura misma.
Figura tomada del artículo que se menciona en el texto.

Antes de que las aulas deportivas fueran cerradas, habían sido expuestas 217 personas en 12 instalaciones distintas y los instructores habían contagiado a 63 personas que incluían a sus familiares, además de los estudiantes. Los investigadores estudiaron 830 casos de contactos con los instructores e identificaron a 34 contagios de COVID-19 en un transmisión directa (primaria).
La tercera conclusión que busco destacar es que las clases en lugares cerrados son una fuente de contagio segura.









jueves, 11 de junio de 2020

Cómo empezó todo (línea de tiempo sobre el origen de la pandemia del COVID-19)




En esta contribución vamos a relatar cómo y dónde se piensa que surgió el virus SARS-COV-2. Vamos a marcar una línea de tiempo para ilustrar la rapidez con la que se propagó la epidemia. La semana crucial en la que no se actuó a pesar de que ya se disponía la información. Las medidas tan rápidas y exigentes que impondría la autoridad de China después. Se dará el nombre de la especialista que realmente descubrió la caracterísitca de la enfermedad. Y finalmente, se relatará un ejemplo, tomado de una revista científica, en la que se muestra una de las formas en las que el virus puede ser transmitido a varias personas.

La ciudad de Wuhan es famosa ahora porque los estudios científicos llevan a concluir que el virus SARS-COV-2, causante de la enfermedad COVID-19, surgió en el Mercado Mayorista de Mariscos de esa ciudad.

Wuhan se encuentra en el centro de China y es la más poblada de la Provincia de Hubei, con 11 millones de habitantes. Se fundó en la confluencia de los ríos Han y Yangtze.

Es una ciudad desconocida para nosotros, pero ha sido protagonista de diversos hechos históricos de China, entre ellos fue la capital en el año de 1927 y también el centro de operaciones en 1937 durante la guerra chino-japonesa.

En Wuhan operó, hasta el 1 de enero de 2020, el tristemente célebre mercado de mariscos, o mercado húmedo porque mantenía, entre otras actividades, algunos animales vivos para sacrificarlos al instante de la compra y ofrecerlos más frescos a la clientela. Era una instalación de 5 hectáreas, es decir cinco cuadrados de 100 metros de lado cada uno y durante el siglo XXI había protagonizado enfrentamientos debido a prácticas monopólicas y a una fuerte tendencia a desobedecer las reglas sanitarias dictadas por las autoridades. Entre ellas, la práctica ilegal del comercio de animales salvajes vivos.

Es posible que esa mezcla insalubre de animales, unos vivos y otros muertos, dio lugar la transmisión de un coronavirus que inició en un murciélago, pasó por un pangolín y terminó en un ser humano.
Éste era un evento que los especialistas temían desde hacía tiempo, pues los coronavirus tienen la capacidad de saltar y adaptarse de una especie a otra causando enfermedades infecciosas denominadas  zoonóticas. Por esa razón, muchos investigadores ya habían alertado de que esa facilidad para saltar entre especies era una bomba de relojería que en cualquier momento podía originar una pandemia.

Hay investigadores que no aceptan la afirmación anterior, pues el cierre del mercado el 1 de enero de 2020 impidió el estudio que podría haber llevado a investigar con detalle cuál animal pudo ser el origen de la infección.

De acuerdo a estudios basados en el análisis de la rapidez con la que cambia la estructura del RNA del virus SARS-COV-2 se han podido fijar varias fechas posibles de su origen, todas lo ubican entre el 15 de octubre y el 6 de diciembre de 2019. Las fechas se muestran en la siguiente figura. Son las marcadas con círculos rojos.
En círculos rojos las fechas en que se estima que surgió el SARS-COV-2


De acuerdo a la institución de salud pública española, los primeros enfermos presentaron síntomas el 8 de diciembre de 2019 y a fines de ese mes fueron reportados 27 casos de una neumonía desconocida. De ellos, 7 personas eran casos graves. De acuerdo a la Comisión Municipal de Salud y Sanidad de Wuhan, en la provincia de Hubei, todos tenían relación con el mercado mayorista de mariscos.
  
Como sabemos, el proceso anterior es muy grave. Así lo estamos viviendo ahora, pero más grave es que el hecho puede volver a ocurrir, como afirman Edward Holmes, virólogo evolutivo en la Universidad de Sidney y Yong-Zhen Zhang, investigador de la Universidad Fudan en Shanghai. Ellos han planteado algunas medidas que deberían tomarse para prevenir futuras pandemias causadas por coronavirus. 
1) Entre ellas destacan la vigilancia de los coronavirus presentes en diferentes especies de mamíferos,
2) la acción contra el tráfico ilegal de animales exóticos salvajes y
3) la eliminación de mamíferos y aves salvajes de los mercados.

La línea de tiempo es la siguiente:
1.       En el proceso de evolución de la enfermedad hay varias dudas, por ejemplo, de acuerdo a un artículo publicado en la revista LANCET, el Dr. Wu Wenjan, del hospital Jinyintan, en Wuhan, afirma que la primera persona diagnosticada con COVID-19 ocurrió el 1 de diciembre de 2019 e indica que no tenía ninguna relación con el mercado de mariscos, pues era un anciano con Alzheimer que no salía de su casa. El siguiente se presentó el 8 de diciembre y después otro el 10 de diciembre. Estos sí, relacionados con el mercado de mariscos.

 El 26 de diciembre la especialista Zhangjixian detectó por primera vez que podría tratarse de un nuevo coronavirus. Al día siguiente, el hospital informó al Centro de Control y Prevención de Enfermedades de Wuhan.

En los tres días siguientes, 28 al 30 de diciembre, se reportaron tres casos más. Todos relacionados con el mercado de mariscos. El hospital lo reportó a la comisión de salud de la provincia de Hubei y a la de la ciudad de Wuhan.

El 29 de diciembre el Centro de Control y Prevención de Enfermedades de Wuhan inició una investigación en el hospital.

 El 30 de diciembre éste centro se lo reportó al equivalente centro de prevención de China. Ese mismo día, las autoridades sanitarias de la ciudad de Wuhan empiezaron a enviar avisos de urgencia a los hospitales. Los noticieros empiezaron a hablar de casos de neumonía y el Dr. Li Wenliang advirtió a sus colegas y amigos, en grupos de redes sociales, sobre la existencia de esa enfermedad.
EEl día 31 de diciembre la comisión de salud de Wuhan recomendó a la gente que usara mascarillas, el Centro de Control y Prevención de Enfermedades de China envió expertos a Wuhan para que investigaran el tema. El canal CCTV (de carácter oficial) reportó la noticia en los medios locales y la autoridad china envió un reporte a la Organización Mundial de la Salud (OMS).

7.       El día 1 de enero de 2020 fue clausurado el mercado de mariscos de Wuhan y desinfectado el local. Hasta aquí, la población había oído hablar de una neumonía pero no se preocupaba por eso.

El 2 de enero se descartó que la enfermedad fuera gripe aviar, MERS, o algún otro coronavirus conocido.

9.       Hasta este momento había 27 casos detectados, y a diferencia del caso del SARS, cuando se tardaron tres meses en avisar a la OMS, esta vez lo hicieron tan pronto como recibieron la noticia desde Wuhan.

 El 3 de enero de 2020 el Dr. Li y otros siete médicos son amonestados por la policía. La Comisión Nacional de Salud advierte a todas las provincias, el virus ha sido detectado pero no hay evidencia de transmisión entre humanos.

El 5 de enero el Centro de Prevención Nacional activó la alarma de emergencia en nivel 2.

El 7 de enero se detectó que se trataba de un nuevo coronavirus y recibió, por el momento, ese nombre.

 El 8 de enero se reportó que no había evidencia de que hubiera transmisión entre humanos y también se informó que no parecía tan mortal como el SARS.

El 10 de enero se produjo el primer caso de muerte. Ese mismo día el Dr. Li empezó a tener síntomas de la enfermedad pero no se hizo revisar en el hospital. No se reportaron nuevos casos de contagio. Las autoridades de Wuhan no actuaban y la población no se sentía alarmada. Sólo se hacía investigación y trabajo de laboratorio. No se dictaban precauciones para la salud de la población.

El 12 de enero las autoridades de China entregaron a la OMS la secuencia del genoma. El Dr. Li se hizo la prueba pero le dio negativa.

 El 15 de enero, por fin, la comisión de salud de Wuhan aseguró que la transmisión entre humanos si era posible. Se entregaron termómetros en las estaciones de trenes, autobuses y aeropuertos.

El 18 de enero se empieza a detectar casos de contagio en el personal médico. El virus había sido detectado pero en Wuhan seguían sin tomar las medidas que a la postre se harían indispensables.

 El 20 de enero se anunció en Wuhan que todos los tratamientos con síntomas de gripe serían gratuitos. Con eso se esperaba alentar a la gente a que asistiera a consulta.

El 22 de enero la recomendación de usar mascarillas pasó a ser exigencia en espacios públicos, pero ya había transcurrido una semana que a la postre se manifestaría como fundamental.

El 23 de enero Wuhan entró en cuarentena, lo mismo que otras ciudades de la Provincia de Hubei. Por disposición de la autoridad, las cancelaciones de vuelos serían gratuitas. Ese sía era jueves y el siguiente sábado, 25 de enero, se festejaría el año nuevo chino, seguido de siete días feriados. El Festival de Primavera se planeaba del 24 al 30 de enero siguientes.

El 24 de enero se inició la construcción del primer hospital para atender enfermos por el nuevo coronavirus y debería estar listo en 10 días. Las autoridades ya habían comprendido la gravedad del problema y el Centro de Control y Prevención de Enfermedades de China activó la alarma a nivel 1. Entonces se cerraron todas las atracciones turísticas, los cines y los teatros.

El 25 de enero fueron enviados 1700 integrantes del personal médico a Wuhan y se empezó la construcción de un segundo hospital. Se habían dado cuenta de que el primero sería insuficiente.

El 26 de enero se suspendieron las clases en colegios y se prohibió el tráfico de todo tipo de animales salvajes. Los especialistas empezaban a encontrar la respuesta a la epidemia en un fenómeno de contagios provenientes de animales.

El 28 de enero la Suprema Corte publicó un artículo sobre cómo enfrentar las noticias falsas. También decretó que el Dr. Li y los otros siete médicos no propagaron noticias falsas y que el único error había sido llamar SARS al nuevo coronavirus. La autoridad correspondiente decretó las devoluciones de pasajes de tren sin costo alguno.

El 30 de enero la OMS declaró la emergencia mundial. El Dr. Li se hizo una nueva prueba y esta vez resultó positiva. Quedó claro que las pruebas disponibles no eran plenamente confiables. La mayoría de los viajes interprovinciales quedaron prohibidos.

2El 1 de febrero se descubrió que la materia fecal es otra vía de transmisión.

El 2 de febrero se detuvieron todas las producciones de cine y de TV.

 El 3 de febrero fue inaugurado el primer hospital (iniciado el 23 de enero anterior) y se inició la construcción de otros tres hospitales para atender pacientes con síntomas leves.

  El 4 de febrero se envió a Hubei personal médico de nueva cuenta. Esta vez la cantidad eran 2000.

   El 6 de febrero se inició el control de temperatura sobre toda la población de Wuhan.

El 7 de febrero falleció el Dr. Li.

3El 8 de febrero se inauguró en Wuhan el segundo hospital.

Para estas fechas se había decretado que no cooperar, u ocultar la enfermedad, podía tener consecuencias legales. También se cerraron otras 15 ciudades de Hubei y se empezó a rastrear a dónde habían viajado. Por ejemplo, el 31 de enero, en Italia, dos chinos que vacacionaban dieron positivo y un italiano repatriado de Hubei también llegó enfermo.

Siendo Wuhan una ciudad industrial, muchos de sus habitantes han ido a vivir allí para trabajar, con sus familiares en otros sitios de China.

La gravedad del problema se gestó en la inactividad durante la semana comprendida del 15 al 22 de enero, cuando a pesar de que el virus ya había sido detectado, no se tomaron medidas. En ese periodo, ante la proximidad del año nuevo chino, muchas personas ya habían abandonado Wuhan con rumbo a otros sitios de China o del extranjero. El 31 de enero dos chinos presentarían síntomas en Italia y el tercer caso aparecería una semana después. Un italiano recién repatriado de Wuhan.

Cerraremos esta contribución con un ejemplo sobre una de las formas en las que suele contraerse la enfermedad del COVID-19. 

El jueves 23 de enero de 2020 una familia viajó desde Wuhan hasta Guangzhou, una ciudad localizada un poco al norte de Macao y de Hong Kong. Al día siguiente almorzaron en un restaurante junto con otras dos familias. El comedor se localizaba en el tercer piso de un edificio de cinco plantas, en un local de 145 metros cuadrados, sin ventanas y con su propio aire acondicionado. Entre dos paredes separadas 6 metros Había tres mesas a la que les proporcionaba aire el mismo aparato. La distancia entre dos mesas contiguas era de 1 metro y las tres familias ocuparon mesas que designaremos con las letras A, B, C.

Los ocupantes de las mesas A y B coincidieron durante 53 minutos, mientras que las de la mesa A y C lo hicieron durante 73 minutos. En la mesa de enmedio, designada con la letra A en la figura, había una persona que ese día por la noche se empezó a quejar de síntomas que después serían clasificados como indicador de la enfermedad provocada por el nuevo coronavirus.

Ese día estuvieron en el sitio 83 clientes y 10 de ellos resultaron contagiados.

Cuatro de ellos compartían la mesa A y presentaron síntomas los días 27 de enero una de ellas, dos más el 29 de enero y la cuarta hasta el 2 de febrero. De la mesa B, ocupada por 4 personas, tres presentarían síntomas después: una el 1 de febero y las otras 2 hasta el 5 de febrero. De la mesa enfermerían 2 de los 7 ocupantes. Uno habría de presentar síntomas el 27 de febrero y otro el 31 de ese mes.
Diagrama del local que aparece en el artículo cuyo autor se menciona.

 Los otros 73 asistentes fueron clasificados como contactos cercanos y se les indicó cuarentena durante 14 días. En una investigación publicada en Emerging Infectious Diseases, el Dr. Jianyun Lu y colaboradores afirmaron que el brote de COVID-19 surgió por las micro gotas transportadas por el movimiento del aire acondicionado.

El diario español El País publicó posteriormente un artículo en el que relataba este hecho, más otros dos ocurridos en un edificio con un call center y otro en un autobús. Los mismos serán relatados en otra ocasión, por ahora, lo rescatable es el dibujo publicado por ese diario en la referencia en línea que se agrega junto con esta figura.
(poner liga a El País)

Lo anterior demuestra que no basta mantenerse a cuando menos 1 metro y medio de distancia, además, es importante saber cómo está soplando el aire acondicionado y durante cuánto tiempo convivimos con alguien que no sabe que está contagiado.





jueves, 9 de abril de 2020

Un modelo epidemiológico SIR para el caso de México (COVID-19)



Presentación del modelo

El modelo SIR recibe ese nombre porque se clasifica a la población en tres grupos: el de los individuos susceptibles de ser contagiados (S), el de los individuos que son infectados (I) y por último el de los que se recuperan.

Un aspecto importante es que se trabaja sobre dos hipótesis fundamentales: 1) se trata de población homogénea, 2) están viviendo en territorio homogéneo.

A quienes no tienen interés en los asuntos medianamente técnicos, les sugiero que se salten la lectura hasta la parte de resultados.

Data del año 1927 y ha sido de mucha utilidad para entender varias epidemias o pandemias. Debido a su sencillez, permite extraer varias conclusiones interesantes y facilita estimaciones de mediana calidad en lo que puede suceder cuando inicia un proceso infeccioso.

En más de 90 años de existencia ha sido mejorado y aumentado, como puede verse en la literatura disponible en línea. A manera de ejemplo, presento en la siguiente figura el diagrama de uno de los modelos utilizados recientemente en la Universidad Politécnica de Valencia. A partir de la figura aprovecho para explicar el modelo SIR.


En la figura encontramos que el modelo introduce 9 grupos para clasificar a la población. De ellos sólo mencionaré 5. Además de los ya mencionados conviene tomar en cuenta el grupo marcado con la letra Q, que indica los individuos puestos en cuarentena. En el caso de México, equivaldría a las personas que nos hemos mantenido en el interior de nuestras casas evitando encontrarnos con otras personas. El otro es el marcado con la letra L, que es cuando un individuo ya ha sido contagiado pero apenas está incubando la enfermedad. Los grupos que marqué con cuadros rojos son el modelo SIR que usé.

¿Por qué no recurrir al modelo de la figura si es claramente más completo? La respuesta es sencilla: el paso de un cuadro a otro ocurre con una probabilidad que no es fácil de conocer. Quien esto escribe no puede tener acceso a ninguna de esas constantes que han sido marcadas con letras griegas.
Siendo prácticos, nos quedaremos con el viejo modelo SIR, y como Ustedes verán, permite obtener resultados cualitativamente útiles. Se explica en la siguiente figura:



El cuadro de la izquierda son los individuos susceptibles de ser contagiados, lo cual puede ocurrir con cierta probabilidad que da lugar a la tasa de transición marcada con la letra b y se llama tasa de contagio. En ese caso pasa a formar parte del cuadro del centro, que corresponde a los infectados. Es posible que se recupere, lo cual ocurre con una tasa de transición que marcamos como g, su nombre es tasa de recuperación, entonces pasa a formar parte de los recuperados.

Claramente el modelo no incluye personas que fallecen, lo cual se traduce en una imperfección importante. No incluye migración ni otros fenómenos típicos de los modelos de dinámica de poblaciones. Sin embargo, tiene la ventaja de que nos dice lo que pasaría si un gobierno no actúa, o también, si habiendo recomendaciones, la población no las respeta.

El modelo SIR tiene tres ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas. Yo las aproximé con ecuaciones en diferencias finitas, tal que la unida de tiempo es un día.

Construcción de las tasas de transición

Parte del problema que enfrentan en la actualidad los modeladores es cuánto vale la tasa de contagio para el caso del virus SARS-COV-2, que es el que produce la enfermedad llamada COVID-19. 

Revisando la literatura encuentro que en Inglaterra ha causado bastante polémica porque diferentes grupos de investigación manejan distintos valores para el valor de b.

He tomado uno de esos valores para la probabilidad de contagio, es: 1/5.2. Además, se debe multiplicar por la probabilidad de que un individuo cualquiera encuentre a uno que sí está infectado.

 Si suponemos que hay un infectado en la población, entonces la probabilidad es 1 dividido entre el total de pobladores. Usando la hipótesis de población homogénea, tomé como dato la mitad de la población que vive en zonas urbanas. El criterio es que no está circulando siempre el cien por ciento de quienes vivimos en ciudades o pueblos, sino solo la mitad.

La constante g es más fácil de construir. Si una persona se recupera en 14 días, entonces esta tasa de transición es 1/14.

Resultados

Como adelanté antes, el modelo SIR nos dice lo que puede pasar si un gobierno no actúa, o también, si la población decide no tomar en cuenta las recomendaciones que se están planteando. En el caso de México frente al COVID-19 se trata de las medidas de distanciamiento entre personas y aislamiento social.

Cuando se programan las ecuaciones en diferencias con un valor dado para la población del grupo S, con solamente 1 infectado y 0 recuperados (obvio), el programa de cómputo produce cuatro columnas de datos: una con los días que transcurren, otra con las personas susceptibles, la tercera con los casos infectados y la cuarta con los individuos recuperados.

Después de eso dividí entre el total de la población para tener solamente fracciones de población. Si alguien desea hablar de porcentajes, lo único que tiene que hacer es multiplicar por cien.

Hay dos aspectos que me dan confianza sobre estos resultados. El primero es que el número de infectados (curva roja) alcanza su máximo en el día 59. Esto nos sitúa en el último día de abril, o en la primera semana de mayo, que coincide con los comentarios verbales hechos por las autoridades de salud a nivel federal. El segundo es que cumple cabalmente con una predicción obtenida mediante métodos analíticos: la epidemia se extingue antes de infectar a toda la población.

En la línea horizontal tenemos el número de días que transcurren y en la vertical la fracción de individuos con respecto al total de la población considerada. El número 1 corresponde al 100%, el número 0.5 al 50%, y así sucesivamente.


En la figura tenemos tres curvas, la azul que corresponde a la disminución de individuos del grupo S (susceptibles), la verde con los casos recuperados, y la más interesante para nosotros, que es la roja. Veamos esta última ahora.

En mi programa la infección tarda varios días en presentarse. Al principio es casi imperceptible. Inicia muy lentamente y después tiene una explosión impresionante. Súbitamente deja de crecer y empieza la disminución. Hay allí un resultado importante: se contagia el 52.4% de la población.

Otro dato importante es que la infección desaparece después de cinco meses, es decir 20 semanas.
Para valorar la validez de este último resultado conviene comparar con lo que ocurrión con la fiebre española, en 1918. En Nueva York la epidemia duró 12 semanas, con un rebote que la llevó hasta las 24 semanas. En San Francisco duró un tiempo similar, pero con un rebote mucho mayor. Las gráficas las pueden consultar en el sitio de National Geographic.

El segundo resultado se aprecia en la figura que sigue. En la horizontal tenemos la fracción de individuos susceptibles y en la vertical la fracción de infectados. Aquí la historia no ocurre de izquierda a derecha como en la gráfica anterior, sino de derecha a izquierda como indican las flechas rojas.



El relato es el siguiente: la curva parte desde el 1.0 en la horizontal y fluye hacia la izquierda. el porcentaje de susceptibles disminuye mientras la fracción de infectados va creciendo. Cuando la altura es cerca de la mitad sucede que la curva se dobla hacia abajo y el número de infectados empieza a disminuir sin haber llegado a la unidad. Como ya escribí, corresponde al 52.4% de la población.

Este resultado me recordó una declaración de la Dra. Merker, gobernante de Alemania. Dijo que se corría el riesgo de que se contagiara el 70% de la población.

Aspectos cuantitativos peligrosos

El modelo SIR nos dice que, si un gobierno no actúa, o si la población no respeta las medidas indicadas:
1.      En una población de 100 millones de habitantes se enfermarán 52.4 millones de personas.
2.      Si como estima la Organización Mundial de la Salud, en México moriría el 7% de infectados, el número de muertos serían 3.6 millones de seres humanos.


domingo, 22 de marzo de 2020

La importancia de las medidas de sana distancia y aislamiento




Esta contribución al blog se escribe el 21 de marzo de 2020. En un momento en que la humanidad sufre una epidemia provocada por un virus llamado SARS-CoV-2. Al final se explica por qué lleva ese nombre..
Si Usted no tiene experiencia con las curvas y las gráficas solicite, por favor, el apoyo de un estudiante de física, matemáticas o de ingeniería que esté dispuesto a ayudarle. Comprender para convencerse es muy importante en estas fechas.
El objetivo de esta publicación es tratar de persuadir al lector de la utilidad y necesidad de cumplir con las recomendaciones de sana distancia y de aislamiento en casa que está recomendando la Secretaría de Salud del Gobierno de México.
Se intenta explicar al lector sobre lo conveniente que resultará seguir una disciplina muy alta al seguir las recomendaciones mencionadas en el párrafo anterior.
Aviso que la propagación de una pandemia es un fenómeno con alto contenido de azar y que los modelos matemáticos pueden trabajar con promedios. Por eso lo que aquí se publican son escenarios aproximados. Todo puede ser peor, o puede ser mejor. De los mexicanos depende.
Parte de la meta es explicar el significado de las curvas de la figura siguiente. Donde tenemos una curva roja, una anaranjada y otra azul.
En la horizontal tenemos días transcurridos y en la vertical el número de personas infectadas. La gráfica se diseña a partir de cálculos realizados por Arnulfo Castellanos Moreno, redactor de esta exposición. Los datos están tomados de las publicaciones periódicas de la Secretaría de Salud.
La curva roja es típica de los resultados que se obtendrán si es baja la disciplina al cumplir las medidas de sana distancia y aislamiento. La anaranjada si la disciplina es media nada más. La curva azul se obtendría si la disciplina es muy alta.
Figura 1



El 28 de febrero de 2020 se reportó en México el primer caso de la enfermedad COVID-19, causada por el virus SARS-CoV-2. En la parte final de esta contribución se detalla por qué esta enfermedad recibe este nombre.
Regresando a la gráfica, esta nos dice que los mexicanos lograrían contener y revertir el proceso de infección en la tercera quincena de mayo.

¿Hay un escenario peor?
Sí,
Para explicarlo vamos ahora a la siguiente gráfica. Corresponde a lo que ahora está ocurriendo.
Si no cumplimos con las medidas que nos están recomendando, se presentará la curva negra. Ésta representa lo que está sucediendo ahora en México y es muy similar a la que se ha estado presentando en Italia y en España. En este caso la curva crecerá hasta alcanzar en 42 días la misma cantidad de infectados que alcanzó China el 17 de marzo de 2020: un poco más de 81 mil enfermos. Es lo que necesitamos evitar.

Las curvas anaranjada y azul son las que pueden presentarse si cumplimos con las medidas que nos están recomendando.
Figura 2


La curva negra surge de un ajuste de datos. Es un procedimiento matemático que explicaré en otra ocasión. Es un tema puramente técnico. Las otras curvas se presentarán si somos disciplinados en diferente medida y acatamos las indicaciones que se nos hagan saber.

Si no cumplimos con ninguna indicación y permitimos que reine el caos, la curva negra se acercará a una horizontal mucho después, cuando ocurra un fenómeno similar al del llenado de álbumes con estampas. Por ejemplo, si nos ofrecieron un álbum con imágenes antes del mundial de futbol de 2018 en Rusia, podremos recordar que al principio se avanzaba muy rápido porque encontrábamos fácilmente las figuras ofrecidas en el mercado. Al final se volvía muy difícil seguir llenando las casillas vacías porque éstas eran muy escasas. Algo similar ocurre con una epidemia, cuando el virus ya casi no encuentra personas carentes de inmunidad, la propagación se estabiliza. Esto no es una opción. Más aún, es muy grave porque técnicamente se presenta cuando los infectados y los fallecidos son cientos de miles. Agrego un ejemplo para que el lector capte la magnitud del problema que se presenta si nos dejamos llevar por la indisciplina.

No acatar las medidas de sana distancia y aislamiento puede producir resultados como los siguientes:
·         Se llegará a 250 000 enfermos en 46 días con 14 horas y podremos rebasar la cifra de 5 mil fallecimientos, sin que eso signifique que el proceso se termina allí.
·         Como ya se adelantó párrafos antes, el número de enfermos que alcanzó China el 18 de marzo se alcanzan entre 42 y 43 días en México.
·         Al cerrar el día 30 serán 2 159 enfermos, lo cual perfila una gran preocupación en los mexicanos.
·         En la siguiente quincena, del día 31 al 45, la histeria será total porque se llegará a más de 158 mil casos y en el día 45 se agregarán 61 mil nuevos casos. Esto último es en sólo 24 horas.

Estamos a tiempo de modificar los resultados anteriores.
Los escenarios que se pueden conseguir son los mostrados en la primera gráfica y su extensión en el tiempo nos permite proyectar las siguientes opciones estimadas:

Figura 3



La curva azul nos dice que una disciplina alta permite estabilizar el proceso de infección en los últimos días de abril sin que se llegue a los 1 500 afectados. Aviso que los resultados pueden ser mejores y que todo depende de nosotros.

En el otro extremo, si la disciplina es de baja calidad, llegaremos a más de 3 mil afectados antes de lograr la estabilidad en los últimos días de mayo o los primeros de junio.
Hasta aquí las explicaciones de naturaleza general.

Aspectos técnicos del problema

Ahora entraremos en algunos aspectos técnicos del problema. Por razones de tiempo dejaré pendientes las referencias.

El primer punto es aclarar el significado de la función exponencial. Se ha convertido en un lugar común la frase “crecimiento exponencial” aunque muchas veces esa función matemática no esté involucrada. Se trata de una relación entre una variable, t en este caso, y un resultado, n(t). A t se le suele llamar la variable independiente y a n(t) la variable dependiente. Su forma matemática es la que sigue:
Figura 4

Donde k es una constante que juega un papel muy relevante, como veremos ahora.
Si k es grande el crecimiento es más rápido. Unos ejemplos lo dejan claro. En la siguiente figura tenemos tres curvas: roja, anaranjada y azul.
Figura 5

  La curva roja resulta cuando k es igual a 0.4, la curva anaranjada cuando k = 0.3 y la azul cuando k = 0.2.

No hay un solo tipo de crecimiento exponencial. Hay muchos y eso es importante aquí.

La descripción matemática en los primeros días.

Cuando recién aparece el contagio por coronavirus en una región, el número de enfermos evoluciona conforme a una expresión algebraica que escribimos enseguida:
Figura 6

Comparando esta expresión con la anterior, vemos que ahora está presente el coeficiente n0, que es el valor de n cuando la variable independiente es t = 0. Su nombre es condición inicial. La constante k se llama tasa de contagio.

La razón por la que el número de afectados se comporta de esa manera es que, en sus inicios, la población infectada sigue la regla algebraica que presentamos ahora
Figura 7

Expresa que el número de infectados en el instante t+Dt es igual al valor que tenía al tiempo t inmediato anterior más una contribución nueva que son los nuevos contagios. Depende de tres factores: el valor de la tasa de contagio k mencionada antes, la cantidad de infectados n(t) y el tiempo que transcurre Dt.

Un procedimiento matemático permite obtener una ecuación diferencial, resolverla y obtener la función n(t) que venimos explicando. El resto es un problema de ajuste de datos que explicaremos en otra ocasión.

La descripción matemática en los días posteriores días.

Las expresiones algebraicas anteriores tienen un defecto muy importante. Suponen que la tasa de contagio se mantiene constante. Esta hipótesis de trabajo es falsa y las razones son varias. La primera de ellas es el efecto del álbum de estampas: al iniciar tu colección de imágenes encuentras todas en el mercado y llenas rápidamente los primeros cuadros. Después ya no es así porque hay imágenes que nadie encuentra. Algo similar ocurre con el proceso de contagios. En los primeros días todos los individuos se pueden contagiar, pero como el número de personas sanas va disminuyendo, después de varios días ya no hay tantas personas para infectar. Eso lleva a que el valor de k disminuya.

Sobre esta idea se basa la estrategia del Gobierno de México para frenar la pandemia y volveremos sobre esto más adelante.

¿Cómo es una descripción matemática más completa?

En realidad el problema es mucho más complicado, como veremos con el esquema que agregamos después. Me refiero a la figura donde tenemos cinco cuadros que representan diferentes grupos de población. Se denota con la letra M a los individuos que nacieron inmunes porque su madre les transmitió la inmunidad. Pueden fallecer o pueden unirse al grupo marcado con la letra S, cuya diferencia con los primeros es que nacen sin inmunidad. Pueden fallecer o formar parte de una población dividida en individuos inmunes o no inmunes. El cuadro con la letra E se refiere a los individuos expuestos. En el caso que nos interesa se trataría de las personas que forman parte de aglomeraciones, por ejemplo, o que no siguen las recomendaciones de lavado de manos, sana distancia, etcétera. De aquí surgen los infectados (cuadro marcado con la I), que pueden fallecer a causa de la enfermedad, o recuperarse, así llegamos al cuadro marcado con la letra R.

Cada transición de un cuadro a otro puede ocurrir, o no ocurrir, por eso se le asocia una tasa de transición. Éste es un número que es grande si las transiciones son muy frecuentes, o pequeño en caso contrario. Por este motivo ya no es una ecuación diferencial, sino cuatro. No entraremos en detalles, sólo nos importa subrayar que la descripción ya no puede hacerse con una sola ecuación y que el crecimiento ya no es tan sencillo como una función exponencial.
Un ejemplo se encuentra en el caso de China y la conducta de la curva de infectados en el mes de enero de 2020. (Por razones de tiempo les debo la fuente. Será añadida después).

Figura 8


En la horizontal tenemos días de enero desde el día 12 hasta el 30. En la vertical están los casos infectados. Las curvas que nos interesan son la de color verde con líneas punteadas y la azul que va uniendo puntos. Al principio coinciden por completo. Después la exponencial crece más rápido y deja de tener valor predictivo.

La gráfica de esquema a que aludimos párrafos antes es ésta:
Figura 9

La meta del Gobierno de México consiste en obtener un impacto en el que la constante k empiece a decrecer paulatinamente. Es decir, ya no se trataría de una constante, sino de una función que decrece con el tiempo. Si esto ocurre, significa que las medidas de sana distancia y de aislamiento están teniendo impacto porque el virus se contagia cada vez menos. Es la idea que se trata de ilustrar en la gráfica inicial de este artículo.

Si se dejan correr los días para ilustrar la posible conducta del número de casos en cuatro meses, resulta la gráfica 3.

Atendiendo a la figura 3, los máximos se alcanzan en los días 85 para la curva roja, 83 para la curva anaranjada y 77 para la curva azul. Si asignamos el día 1 al 28 de febrero, estaríamos hablando de la tercera semana de mayo.

En declaraciones en conferencia de prensa de la Secretaría de Salud, sus planes son más optimistas y mencionan fines de abril o principios de mayo.

De la frialdad de los números a las tragedias familiares

Se la atribuye a Stalin la siguiente frase: “Una muerte es una tragedia. Un millón de muertos es una estadística”. El interés de esta contribución es generar conciencia y convencer de la necesidad de acatar las medidas de sana distancia y de aislamiento social. Por eso vamos a presentar algunos cálculos que resultan de lo anterior.

De acuerdo a integrantes de la Organización Mundial de la Salud, en México se espera que la mortalidad sea el 7% de los casos infectados. El argumento que dan es la gran cantidad de personas con diabetes en nuestro país. Si este es el caso. El número de infectados y de muertos sería el siguiente:
·         Si el crecimiento casi exponencial de hoy se mantiene, el 12 de abril habrá 495 mil infectados y de estos morirán del orden de 34 mil 600 personas.
·         En el caso de la curva roja los infectados en la tercera semana de mayo serán 3023 y de estos morirían 212 personas.
·         Tratándose de la curva anaranjada, hacia el 15 de mayo tendríamos 2605 casos confirmados de la enfermedad COVID-19. De ellos fallecerían 183 seres humanos.
·         Si se presentara la curva azul, en la fecha señalada arriba tendríamos 1325 infectados y morirían 93 personas.

Las medidas están planteadas. De nosotros depende el resultado.

Nota sobre el nombre del virus y de la enfermedad que causa.
(Agradezco a la Dra. Laurie Ann Ximénez-Fyvie por enviarme la aclaración que sigue)
El virus que está causando la pandemia actual, se llama: SARS-CoV-2
Las siglas provienen de su nombre en Inglés.
SARS = Severe Acute Respiratory Syndrome (Síndrome Respiratorio Agudo Grave, en español).
CoV = Coronavirus. Nombre designado en la nomenclatura para describir el ‘género’ al que pertenece un microorganismo (virus) que es miembro de la ‘orden’: Nidovirales y ‘familia’: Coronaviridae.
2 = Denota que es la segunda especie, que hasta el momento se ha descrito, de virus del género Coronavirus, que causan Síndrome Respiratorio Agudo Grave en seres humanos.
B. La enfermedad causada por el virus SARS-CoV-2, se llama:
COVID-19
En donde:
COVID = Acrónimo de “Coronavirus disease” (de “enfermedad por Coronavirus”, en español).

19 = Abreviatura de “2019”, año en el que se presentó el primer caso y se describió la enfermedad.