Presentación del modelo
El modelo SIR
recibe ese nombre porque se clasifica a la población en tres grupos: el de los
individuos susceptibles de ser contagiados (S), el de los individuos que son
infectados (I) y por último el de los que se recuperan.
Un aspecto importante es que se trabaja sobre dos hipótesis fundamentales: 1) se trata de población homogénea, 2) están viviendo en territorio homogéneo.
A quienes no
tienen interés en los asuntos medianamente técnicos, les sugiero que se salten
la lectura hasta la parte de resultados.
Data del año 1927
y ha sido de mucha utilidad para entender varias epidemias o pandemias. Debido
a su sencillez, permite extraer varias conclusiones interesantes y facilita
estimaciones de mediana calidad en lo que puede suceder cuando inicia un
proceso infeccioso.
En más de 90 años
de existencia ha sido mejorado y aumentado, como puede verse en la literatura
disponible en línea. A manera de ejemplo, presento en la siguiente figura el
diagrama de uno de los modelos utilizados recientemente en la Universidad
Politécnica de Valencia. A partir de la figura aprovecho para explicar el
modelo SIR.
En la figura
encontramos que el modelo introduce 9 grupos para clasificar a la población. De
ellos sólo mencionaré 5. Además de los ya mencionados conviene tomar en cuenta
el grupo marcado con la letra Q, que indica los individuos puestos en
cuarentena. En el caso de México, equivaldría a las personas que nos hemos
mantenido en el interior de nuestras casas evitando encontrarnos con otras personas.
El otro es el marcado con la letra L, que es cuando un individuo ya ha sido contagiado
pero apenas está incubando la enfermedad. Los grupos que marqué con cuadros
rojos son el modelo SIR que usé.
¿Por qué no
recurrir al modelo de la figura si es claramente más completo? La respuesta es
sencilla: el paso de un cuadro a otro ocurre con una probabilidad que no es
fácil de conocer. Quien esto escribe no puede tener acceso a ninguna de esas constantes
que han sido marcadas con letras griegas.
Siendo prácticos,
nos quedaremos con el viejo modelo SIR, y como Ustedes verán, permite obtener
resultados cualitativamente útiles. Se explica en la siguiente figura:
El cuadro de la
izquierda son los individuos susceptibles de ser contagiados, lo cual puede
ocurrir con cierta probabilidad que da lugar a la tasa de transición marcada
con la letra b y se llama tasa
de contagio. En ese caso pasa a formar parte del cuadro del centro, que
corresponde a los infectados. Es posible que se recupere, lo cual ocurre con
una tasa de transición que marcamos como g, su nombre es tasa de recuperación, entonces pasa a
formar parte de los recuperados.
Claramente el
modelo no incluye personas que fallecen, lo cual se traduce en una imperfección
importante. No incluye migración ni otros fenómenos típicos de los modelos de
dinámica de poblaciones. Sin embargo, tiene la ventaja de que nos dice lo que
pasaría si un gobierno no actúa, o también, si habiendo recomendaciones, la
población no las respeta.
El modelo SIR
tiene tres ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas. Yo las aproximé con
ecuaciones en diferencias finitas, tal que la unida de tiempo es un día.
Construcción de las tasas de transición
Parte del problema
que enfrentan en la actualidad los modeladores es cuánto vale la tasa de
contagio para el caso del virus SARS-COV-2, que es el que produce la enfermedad
llamada COVID-19.
Revisando la literatura encuentro que en Inglaterra ha
causado bastante polémica porque diferentes grupos de investigación manejan
distintos valores para el valor de b.
He tomado uno de
esos valores para la probabilidad de contagio, es: 1/5.2. Además, se debe
multiplicar por la probabilidad de que un individuo cualquiera encuentre a uno
que sí está infectado.
Si suponemos que hay un infectado en la población,
entonces la probabilidad es 1 dividido entre el total de pobladores. Usando la
hipótesis de población homogénea, tomé como dato la mitad de la población que
vive en zonas urbanas. El criterio es que no está circulando siempre el cien
por ciento de quienes vivimos en ciudades o pueblos, sino solo la mitad.
La constante g es más fácil de construir. Si una persona se recupera
en 14 días, entonces esta tasa de transición es 1/14.
Resultados
Como adelanté
antes, el modelo SIR nos dice lo que puede pasar si un gobierno no actúa, o
también, si la población decide no tomar en cuenta las recomendaciones que se
están planteando. En el caso de México frente al COVID-19 se trata de las medidas
de distanciamiento entre personas y aislamiento social.
Cuando se
programan las ecuaciones en diferencias con un valor dado para la población del
grupo S, con solamente 1 infectado y 0 recuperados (obvio), el programa de
cómputo produce cuatro columnas de datos: una con los días que transcurren,
otra con las personas susceptibles, la tercera con los casos infectados y la
cuarta con los individuos recuperados.
Después de eso
dividí entre el total de la población para tener solamente fracciones de
población. Si alguien desea hablar de porcentajes, lo único que tiene que hacer
es multiplicar por cien.
Hay dos aspectos
que me dan confianza sobre estos resultados. El primero es que el número de
infectados (curva roja) alcanza su máximo en el día 59. Esto nos sitúa en el
último día de abril, o en la primera semana de mayo, que coincide con los comentarios
verbales hechos por las autoridades de salud a nivel federal. El segundo es que
cumple cabalmente con una predicción obtenida mediante métodos analíticos: la
epidemia se extingue antes de infectar a toda la población.
En la línea
horizontal tenemos el número de días que transcurren y en la vertical la
fracción de individuos con respecto al total de la población considerada. El número
1 corresponde al 100%, el número 0.5 al 50%, y así sucesivamente.
En la figura tenemos tres curvas, la azul que corresponde a la
disminución de individuos del grupo S (susceptibles), la verde con los casos
recuperados, y la más interesante para nosotros, que es la roja. Veamos esta
última ahora.
En mi programa la
infección tarda varios días en presentarse. Al principio es casi imperceptible.
Inicia muy lentamente y después tiene una explosión impresionante. Súbitamente deja
de crecer y empieza la disminución. Hay allí un resultado importante: se
contagia el 52.4% de la población.
Otro dato
importante es que la infección desaparece después de cinco meses, es decir 20
semanas.
Para valorar la
validez de este último resultado conviene comparar con lo que ocurrión con la
fiebre española, en 1918. En Nueva York la epidemia duró 12 semanas, con un
rebote que la llevó hasta las 24 semanas. En San Francisco duró un tiempo
similar, pero con un rebote mucho mayor. Las gráficas las pueden consultar en
el sitio de National Geographic.
El segundo
resultado se aprecia en la figura que sigue. En la horizontal tenemos la
fracción de individuos susceptibles y en la vertical la fracción de infectados.
Aquí la historia no ocurre de izquierda a derecha como en la gráfica anterior,
sino de derecha a izquierda como indican las flechas rojas.
El relato es el
siguiente: la curva parte desde el 1.0 en la horizontal y fluye hacia la
izquierda. el porcentaje de susceptibles disminuye mientras la fracción de
infectados va creciendo. Cuando la altura es cerca de la mitad sucede que la
curva se dobla hacia abajo y el número de infectados empieza a disminuir sin
haber llegado a la unidad. Como ya escribí, corresponde al 52.4% de la
población.
Este resultado me recordó una declaración de la Dra. Merker, gobernante de Alemania. Dijo que se corría el riesgo de que se contagiara el 70% de la población.
Aspectos cuantitativos peligrosos
El modelo SIR nos
dice que, si un gobierno no actúa, o si la población no respeta las medidas
indicadas:
1.
En
una población de 100 millones de habitantes se enfermarán 52.4 millones de
personas.
2.
Si
como estima la Organización Mundial de la Salud, en México moriría el 7% de
infectados, el número de muertos serían 3.6 millones de seres humanos.
