Esta contribución
al blog se escribe el 21 de marzo de 2020. En un momento en que la humanidad
sufre una epidemia provocada por un virus llamado SARS-CoV-2. Al final se explica por qué lleva ese nombre..
Si Usted no tiene experiencia
con las curvas y las gráficas solicite, por favor, el apoyo de un estudiante de
física, matemáticas o de ingeniería que esté dispuesto a ayudarle. Comprender
para convencerse es muy importante en estas fechas.
El objetivo de
esta publicación es tratar de persuadir al lector de la utilidad y necesidad de
cumplir con las recomendaciones de sana distancia y de aislamiento en casa que
está recomendando la Secretaría de Salud del Gobierno de México.
Se intenta explicar
al lector sobre lo conveniente que resultará seguir una disciplina muy alta al
seguir las recomendaciones mencionadas en el párrafo anterior.
Aviso que la
propagación de una pandemia es un fenómeno con alto contenido de azar y que los
modelos matemáticos pueden trabajar con promedios. Por eso lo que aquí se
publican son escenarios aproximados. Todo puede ser peor, o puede ser mejor. De
los mexicanos depende.
Parte de la meta
es explicar el significado de las curvas de la figura siguiente. Donde tenemos
una curva roja, una anaranjada y otra azul.
En la horizontal
tenemos días transcurridos y en la vertical el número de personas infectadas. La
gráfica se diseña a partir de cálculos realizados por Arnulfo Castellanos
Moreno, redactor de esta exposición. Los datos están tomados de las publicaciones
periódicas de la Secretaría de Salud.
La curva roja es
típica de los resultados que se obtendrán si es baja la disciplina al cumplir
las medidas de sana distancia y aislamiento. La anaranjada si la disciplina es
media nada más. La curva azul se obtendría si la disciplina es muy alta.
Figura 1
El 28 de febrero
de 2020 se reportó en México el primer caso de la enfermedad COVID-19, causada por el virus SARS-CoV-2. En la parte final de esta contribución se detalla por qué esta enfermedad recibe este nombre.
Regresando a la gráfica, esta nos dice que los mexicanos lograrían contener y revertir el proceso de infección en la tercera quincena de mayo.
Regresando a la gráfica, esta nos dice que los mexicanos lograrían contener y revertir el proceso de infección en la tercera quincena de mayo.
¿Hay un
escenario peor?
Sí,
Para explicarlo
vamos ahora a la siguiente gráfica. Corresponde a lo que ahora está
ocurriendo.
Si no cumplimos
con las medidas que nos están recomendando, se presentará la curva negra. Ésta
representa lo que está sucediendo ahora en México y es muy similar a la que se
ha estado presentando en Italia y en España. En este caso la curva crecerá
hasta alcanzar en 42 días la misma cantidad de infectados que alcanzó China el
17 de marzo de 2020: un poco más de 81 mil enfermos. Es lo que necesitamos
evitar.
Las curvas
anaranjada y azul son las que pueden presentarse si cumplimos con las medidas
que nos están recomendando.
Figura 2
La curva negra
surge de un ajuste de datos. Es un procedimiento matemático que explicaré en
otra ocasión. Es un tema puramente técnico. Las otras curvas se presentarán si
somos disciplinados en diferente medida y acatamos las indicaciones que se nos
hagan saber.
Si
no cumplimos con ninguna indicación y permitimos que reine el caos, la curva
negra se acercará a una horizontal mucho después, cuando ocurra un fenómeno
similar al del llenado de álbumes con estampas. Por ejemplo, si nos ofrecieron
un álbum con imágenes antes del mundial de futbol de 2018 en Rusia, podremos
recordar que al principio se avanzaba muy rápido porque encontrábamos
fácilmente las figuras ofrecidas en el mercado. Al final se volvía muy difícil seguir
llenando las casillas vacías porque éstas eran muy escasas. Algo similar ocurre
con una epidemia, cuando el virus ya casi no encuentra personas carentes de
inmunidad, la propagación se estabiliza. Esto no es una opción. Más aún, es muy
grave porque técnicamente se presenta cuando los infectados y los fallecidos
son cientos de miles. Agrego un ejemplo para que el lector capte la magnitud
del problema que se presenta si nos dejamos llevar por la indisciplina.
No acatar las
medidas de sana distancia y aislamiento puede producir resultados como los
siguientes:
·
Se llegará a 250
000 enfermos en 46 días con 14 horas y podremos rebasar la cifra de 5 mil
fallecimientos, sin que eso signifique que el proceso se termina allí.
·
Como ya se
adelantó párrafos antes, el número de enfermos que alcanzó China el 18 de marzo
se alcanzan entre 42 y 43 días en México.
·
Al cerrar el día
30 serán 2 159 enfermos, lo cual perfila una gran preocupación en los
mexicanos.
·
En la siguiente
quincena, del día 31 al 45, la histeria será total porque se llegará a más de
158 mil casos y en el día 45 se agregarán 61 mil nuevos casos. Esto último es en
sólo 24 horas.
Estamos a tiempo de modificar los resultados
anteriores.
Los escenarios que se pueden conseguir son los
mostrados en la primera gráfica y su extensión en el tiempo nos permite
proyectar las siguientes opciones estimadas:
Figura 3
La curva azul nos dice que una disciplina alta permite
estabilizar el proceso de infección en los últimos días de abril sin que se
llegue a los 1 500 afectados. Aviso que los resultados pueden ser mejores y que
todo depende de nosotros.
En el otro extremo, si la disciplina es de baja
calidad, llegaremos a más de 3 mil afectados antes de lograr la estabilidad en
los últimos días de mayo o los primeros de junio.
Hasta aquí las explicaciones de naturaleza general.
Aspectos técnicos del problema
Ahora entraremos en algunos aspectos técnicos del
problema. Por razones de tiempo dejaré pendientes las referencias.
El primer punto es aclarar el significado de la
función exponencial. Se ha convertido en un lugar común la frase “crecimiento
exponencial” aunque muchas veces esa función matemática no esté involucrada. Se
trata de una relación entre una variable, t en este caso, y un resultado,
n(t). A t se le suele llamar la variable independiente y a n(t)
la variable dependiente. Su forma matemática es la que sigue:
Figura 4
Donde k es una constante que juega un papel muy
relevante, como veremos ahora.
Si k es grande el crecimiento es más rápido. Unos
ejemplos lo dejan claro. En la siguiente figura tenemos tres curvas: roja,
anaranjada y azul.
Figura 5
La curva roja resulta cuando k es igual a 0.4,
la curva anaranjada cuando k = 0.3 y la azul cuando k = 0.2.
No hay un solo tipo de crecimiento exponencial. Hay
muchos y eso es importante aquí.
La descripción matemática en los primeros días.
Cuando recién aparece el contagio por coronavirus en
una región, el número de enfermos evoluciona conforme a una expresión
algebraica que escribimos enseguida:
Figura 6
Comparando esta expresión con la anterior, vemos que ahora
está presente el coeficiente n0, que es el valor de n
cuando la variable independiente es t = 0. Su nombre es condición inicial.
La constante k se llama tasa de contagio.
La razón por la que el número de afectados se comporta
de esa manera es que, en sus inicios, la población infectada sigue la regla
algebraica que presentamos ahora
Figura 7
Expresa que el número de infectados en el instante t+Dt es igual al valor
que tenía al tiempo t inmediato anterior más una contribución nueva que
son los nuevos contagios. Depende de tres factores: el valor de la tasa de
contagio k mencionada antes, la cantidad de infectados n(t) y el
tiempo que transcurre Dt.
Un procedimiento matemático permite obtener una
ecuación diferencial, resolverla y obtener la función n(t) que venimos
explicando. El resto es un problema de ajuste de datos que explicaremos en otra
ocasión.
La descripción matemática en los días posteriores
días.
Las expresiones algebraicas anteriores tienen un defecto
muy importante. Suponen que la tasa de contagio se mantiene constante. Esta
hipótesis de trabajo es falsa y las razones son varias. La primera de ellas es
el efecto del álbum de estampas: al iniciar tu colección de imágenes encuentras
todas en el mercado y llenas rápidamente los primeros cuadros. Después ya no es
así porque hay imágenes que nadie encuentra. Algo similar ocurre con el proceso
de contagios. En los primeros días todos los individuos se pueden contagiar,
pero como el número de personas sanas va disminuyendo, después de varios días
ya no hay tantas personas para infectar. Eso lleva a que el valor de k
disminuya.
Sobre esta idea se basa la estrategia del Gobierno de
México para frenar la pandemia y volveremos sobre esto más adelante.
¿Cómo es una descripción matemática más completa?
En realidad el problema es mucho más complicado, como
veremos con el esquema que agregamos después. Me refiero a la figura donde tenemos
cinco cuadros que representan diferentes grupos de población. Se denota con la
letra M a los individuos que nacieron inmunes porque su madre les transmitió la
inmunidad. Pueden fallecer o pueden unirse al grupo marcado con la letra S,
cuya diferencia con los primeros es que nacen sin inmunidad. Pueden fallecer o formar
parte de una población dividida en individuos inmunes o no inmunes. El cuadro
con la letra E se refiere a los individuos expuestos. En el caso que nos interesa
se trataría de las personas que forman parte de aglomeraciones, por ejemplo, o
que no siguen las recomendaciones de lavado de manos, sana distancia, etcétera.
De aquí surgen los infectados (cuadro marcado con la I), que pueden fallecer a
causa de la enfermedad, o recuperarse, así llegamos al cuadro marcado con la
letra R.
Cada transición de un cuadro a otro puede ocurrir, o
no ocurrir, por eso se le asocia una tasa de transición. Éste es un número que es
grande si las transiciones son muy frecuentes, o pequeño en caso contrario. Por
este motivo ya no es una ecuación diferencial, sino cuatro. No entraremos en
detalles, sólo nos importa subrayar que la descripción ya no puede hacerse con
una sola ecuación y que el crecimiento ya no es tan sencillo como una función
exponencial.
Un ejemplo se encuentra en el caso de China y la
conducta de la curva de infectados en el mes de enero de 2020. (Por razones de
tiempo les debo la fuente. Será añadida después).
Figura 8
En la horizontal tenemos días de enero desde el día 12
hasta el 30. En la vertical están los casos infectados. Las curvas que nos
interesan son la de color verde con líneas punteadas y la azul que va uniendo
puntos. Al principio coinciden por completo. Después la exponencial crece más
rápido y deja de tener valor predictivo.
La gráfica de esquema a que aludimos párrafos antes es
ésta:
Figura 9
La meta del Gobierno de México consiste en obtener un
impacto en el que la constante k empiece a decrecer paulatinamente. Es
decir, ya no se trataría de una constante, sino de una función que decrece con
el tiempo. Si esto ocurre, significa que las medidas de sana distancia y de aislamiento
están teniendo impacto porque el virus se contagia cada vez menos. Es la idea
que se trata de ilustrar en la gráfica inicial de este artículo.
Si se dejan correr los días para ilustrar la posible
conducta del número de casos en cuatro meses, resulta la gráfica 3.
Atendiendo a la figura 3, los máximos se alcanzan en los días 85 para la curva
roja, 83 para la curva anaranjada y 77 para la curva azul. Si asignamos el día
1 al 28 de febrero, estaríamos hablando de la tercera semana de mayo.
En declaraciones en conferencia de prensa de la Secretaría
de Salud, sus planes son más optimistas y mencionan fines de abril o principios
de mayo.
De la frialdad de los números a las tragedias familiares
Se la atribuye a Stalin la siguiente frase: “Una
muerte es una tragedia. Un millón de muertos es una estadística”. El interés de
esta contribución es generar conciencia y convencer de la necesidad de acatar
las medidas de sana distancia y de aislamiento social. Por eso vamos a presentar
algunos cálculos que resultan de lo anterior.
De acuerdo a
integrantes de la Organización Mundial de la Salud, en México se espera que la
mortalidad sea el 7% de los casos infectados. El argumento que dan es la gran
cantidad de personas con diabetes en nuestro país. Si este es el caso. El
número de infectados y de muertos sería el siguiente:
·
Si el crecimiento
casi exponencial de hoy se mantiene, el 12 de abril habrá 495 mil infectados y
de estos morirán del orden de 34 mil 600 personas.
·
En el caso de la
curva roja los infectados en la tercera semana de mayo serán 3023 y de estos
morirían 212 personas.
·
Tratándose de la
curva anaranjada, hacia el 15 de mayo tendríamos 2605 casos confirmados de la enfermedad COVID-19.
De ellos fallecerían 183 seres humanos.
·
Si se presentara
la curva azul, en la fecha señalada arriba tendríamos 1325 infectados y
morirían 93 personas.
Las medidas están
planteadas. De nosotros depende el resultado.
Nota sobre el nombre del virus y de la enfermedad que causa.
Nota sobre el nombre del virus y de la enfermedad que causa.
(Agradezco a la Dra. Laurie Ann Ximénez-Fyvie por enviarme la aclaración que sigue)
El virus
que está causando la pandemia actual, se llama: SARS-CoV-2
Las siglas
provienen de su nombre en Inglés.
SARS =
Severe Acute Respiratory Syndrome (Síndrome Respiratorio Agudo Grave, en
español).
CoV =
Coronavirus. Nombre designado en la nomenclatura para describir el ‘género’ al
que pertenece un microorganismo (virus) que es miembro de la ‘orden’:
Nidovirales y ‘familia’: Coronaviridae.
2 = Denota
que es la segunda especie, que hasta el momento se ha descrito, de virus del
género Coronavirus, que causan Síndrome Respiratorio Agudo Grave en seres
humanos.
B. La
enfermedad causada por el virus SARS-CoV-2, se llama:
COVID-19
En donde:
COVID =
Acrónimo de “Coronavirus disease” (de “enfermedad por Coronavirus”, en
español).
19 =
Abreviatura de “2019”, año en el que se presentó el primer caso y se describió
la enfermedad.
