EL PAPEL DE LA GEOMETRÍA EN LA ENSEÑANZA

Una forma, a mi juicio muy buena, de aprender un análisis científico de textos es el estudio cuidadoso de teoremas matemáticos correctamente enunciados. Allí no significa lo mismo escribir la frase “para cada”, que “para toda”, por ejemplo. Las condiciones para el cumplimiento de la verdad matemática que se establece en el teorema está completamente delineada, y si no es así, entonces el teorema está mal redactado.

El lenguaje al enunciar un teorema es económico, no se usan más palabras que las estrictamente necesarias, ésta es una característica que se encuentra en el centro de la literatura científica. En contraparte, el lenguaje literario juega en la formación del estudiante un papel que abarca la calidad descriptiva, la conexión de frases y de párrafos, la transmisión de emociones, entre tantos otros aspectos propios del arte, pero no es, lo recalco, igual a la estructura científica de textos, ni su análisis, es similar al de un texto científico.

Por ejemplo, el teorema de Tales de Mileto sobre ángulos inscritos en una circunferencia tiene la siguiente redacción concreta:

Sea C un punto de la circunferencia de diámetro [AB], distinto de A y de B. Entonces el ángulo ACB, es recto. Tales de Mileto





Otro ejemplo es la forma en que inicia el artículo fundacional de la Teoría Especial de la Relatividad, de Albert Einstein, en junio de 1905, que describe y discute dos situaciones experimentales posibles, antes de iniciar la discusión que lleva al lector a admitir que las medidas de tiempo y de espacio dependen del estado de movimiento del observador. El primer párrafo de esta obra magna se inserta enseguida traducido al Castellano.





Cuando en el Colegio Académico de la Universidad de Sonora se introdujeron determinados requisitos para los perfiles de los profesores que habrían de impartir asignaturas como “Redacción de Textos Académicos”, lo hicieron con fines exclusivamente clientelares, con el objetivo de generar campo de trabajo para los amigos y colegas, pero nada más. Los encargados de defender una concepción distinta, haciendo ver que no es lo mismo la redacción de un poema, de un cuento, o de un ensayo, que de un artículo científico, guardaron silencio por interés o por ignorancia.

En el lenguaje literario el objetivo es distinto, la belleza del lenguaje y la transmisión de sentimientos juegan un papel muy importante, y sobre todas las cosas, la libertad del escritor para expresarse. Pongo como ejemplo el siguiente poema de Adolfo Sánchez Vázquez:



La apreciación del arte entre los estudiantes universitarios es algo importante, que requiere de su promoción, pero no por la fuerza, abusando de la imposición de asignaturas obligatorias.

Dentro de todo el estudio de las matemáticas, hay una rama que ofrece muchas ventajas para la introducción del estudiante al pensamiento científicamente organizado. Es la geometría sin apellidos, que desafortunadamente ha sido relegada de los planes de estudio de secundarias, preparatorias y licenciaturas. Digo la geometría sin apellidos porque ahora se estudia la geometría analítica, la geometría diferencial (exclusiva de una licenciatura) etcétera.

En el estudio de la geometría se pueden ubicar puntos, trazar rectas, ángulos, triángulos, círculos, etcétera, y obtener verdades matemáticas dentro del contexto de algo que conocemos con el nombre de geometría euclideana. Es tan evidente que hasta hace pocos siglos se pensó que era la única posible.



En mi opinón, la geometría contiene todos los elementos para explicar una de las formas en que se construyen las ciencias naturales, como la física, la química o la biología. Tiene sus axiomas y sus definiciones, e inicia la construcción de toda la estructura teórica con demostraciones organizadas que van conformando todo el edificio de la geometría.

Un matemático con la preparación apropiada puede explicar y formular los teoremas, puede plantear otros como ejercicios para el estudiante, y todo esto, puede servir como un buen curso de introducción a la metodología de las ciencias. Más aún, si para estudiantes avanzados se agrega una discusión del postulado de las paralelas, se podrá estudiar la puerta que se abre con su negación.

Acompañado de la lectura de las obras de Eli de Gortari (1) y de Bertrand Rusell (2) (para fijar dos extremos del pensamiento filosófico), tenemos una forma de discutir los alcances y las limitaciones de una metodología de las ciencias estudiada a partir de la geometría. ¿Por qué? Sencillo, porque Bertrand Rusell es un gran expositor de algo que podemos llamar filosofía de las matemáticas, de tal modo que para él no hay otra filosofía, negando la oportunidad a todos los pensadores que antes estudiaron enunciados no formulados por la ciencia. En cambio, Eli de Gortari fue un pensador que buscó afanosamente la formulación de una lógica dialéctica, basada en la interpretación marxista de la teoría del conocimiento.

Enterarse de la existencia de otras geometrías distintas a la euclideana, que se lograría estudiando un curso elemental de geometría sin apellidos, permitiría asomarse a la historia de la ciencia y las distintas concepciones del mundo. Como se ve, a partir de una sola asignatura de matemáticas, se pueden desprender varias de las habilidades que un estudiante egresado de bachillerato debería tener y de las cuales carece. Este enfoque difiere de la multitud de cursos remediales con que nos ha cargado esa reglamentación llamada: “Lineamientos Generales para un Modelo Curricular” aprobado por el Colegio Académico.

El caso del álgebra

El mismo caso se presenta cuando se aborda en álgebra el estudio de los sistemas de números: naturales, enteros, racionales, reales y complejos. Se comprende la existencia de una estructura que partiendo de los axiomas de Peano que definen los números naturales, cuyas propiedades pueden ser demostradas a partir de ellos, siguiendo con la construcción paulatina de los sistemas de números enteros primero, racionales después, números reales enseguida con la problemática filosófica de la hipótesis del continuo adecuadamente estudiada por Bertrand Rusell, y por último, el sistema de los números complejos, tal que las propiedades de un sistema de números dado (por ejemplo los racionales) descansa sobre las propiedades del sistema anterior (los enteros en este caso). El problema de la comensurabilidad, así como la extrañeza que atrapó a los antiguos griegos al encontrar un segmento que no era medible con múltiplos y fracciones de una medida definida de antemano, son asuntos que, bien tratados, permiten transmitir la forma de pensamiento organizado, más todas las demás habilidades expresadas.

Suele recurrirse a la siguiente figura para explicar lo que acabo de escribir en el párrafo anterior, aunque es necesario añadir que Bertrand Rusell (2) criticó esa concepción de sistemas numéricos que contienen a otros.



Solamente la ignorancia en matemáticas de quienes se dedican a las disciplinas sociales impide ver la rica veta que el estudio de la geometría les ofrece para ejemplificar todas esas afirmaciones que hacen repetir al estudiante, sin que éste le encuentre más sentido que el de acreditar una materia.

A los políticos les vendría muy bien dos o tres semestres sometidos al estudio de la geometría y la metodología de las ciencias para organizar adecuadamente sus discursos, a fin de que no siguieran atarantando a la población con clichés diseñados por publicistas.

Una línea de desarrollo que podría ser útil para los estudiantes de ciencias e ingeniería, y con ciertas modalidades también para las disciplinas sociales, es el estudio de un bloque de asignaturas que pudieran ser ofrecidas por un conjunto de profesores comprometidos en discutir los objetivos y detalles, pero dispuestos a participar en la impartición de las mismas y en el entrenamiento de los profesores sucesores.

La mejor forma de echar perder esta clase de ideas, es decretarlo mediante reglamentos sin reparar en la formación verdadera de profesores. El camino seguido en la Universidad de Sonora es precisamente el del decreto, para que todo se haga conforme ha dicho el general, así se trate de batallas como la de Somme. Quien no sepa a que me refiero, lo invito a leer sobre ella.

(1)Eli de Gortari, Introducción a la Lógica Dialéctica, Fondo de Cultura Económica.
(2)Bertrand Rusell, Our Knowledge of the External World, Open Court of Publishing Co.