Iniciada la segunda década del siglo XXI, Europa camina desvalida, intentando ser el polo de desarrollo económico y político que disputa su lugar a los Estados Unidos, abandona a sus jóvenes al infortunio de la desesperanza, personas altamente preparadas, pero sin trabajo. Como estudiantes que hacen su tarea a tiempo y cumplen con las normas establecidas, pero sin encontrar la recompensa del buen empleo que en su niñez creyeron que podrían alcanzar, protestan en las plazas de España por el hartazgo de verse a si mismos sin esperanza y son desalojados por la policía a garrotazos, a empujones o con gases lacrimógenos.
Los gobernantes europeos, y quienes votan por ellos, ven a Grecia como el negrito en el arroz, endeudada y adentro de su Comunidad Económica Europea. La sienten como una carga para el prestigio que creen tener todavía. Se confunden en el lenguaje del neoliberalismo como si fuera lo único que existe. A lo largo de más de 30 años ha inundado los cerebros con sus técnicas publicitarias y empujan el discurso que habla de “rescatar a Grecia”, cuando en realidad se busca apuntalar con créditos a los bancos europeos que en el pasado endeudaron a ese país a cambio de armamento. El rescate de Grecia, en esas palabras, no es el rescate de su población.
Los europeos siempre han estado confundidos. En mayo de 1926 los mineros de las minas de carbón en Inglaterra intentaron detener el proceso de degradación de sus condiciones de vida. El camino fue una huelga general que se extendió, hasta extinguirse, durante varios meses de ese año.
Desde el año 1925 había quedado claro que la industria del carbón en Inglaterra estaba en quiebra. Vivía de los subsidios del gobierno y juntos enfrentaban la presión de los Estados Unidos, que después de la Primera Guerra Mundial (terminada 7 años antes) estaba consolidando su papel dominante en el mundo.
Los recuerdos de aquellas luchas no han sido olvidadas por todos, este domingo 18 de junio de 2011, el periódico de orientación trotskista: “Workers power 5”, ha recordado la situación de los trabajadores en 1926 con un artículo intitulado: “May 1926: when workers stopped the country”.
Revisar ese pasaje de la resistencia laboral en Inglaterra se hace difícil, puede ser visto desde la actitud de un escolar que no busca más que cumplir con su tarea; o bien, puede ser estudiado desde la perspectiva de quien desea aprender qué ocurrió entonces. Los primeros se van a la wikipedia, los segundos buscan las fuentes originales. Una de estas es Leon Trotsky, quien escribió a partir de su experiencia en la revolución rusa y con la perspectiva de quien sabe que la organización de los trabajadores puede llevar a mucho más que hacer huelgas. Su juicio sobre la ahora llamada Huelga General de 1926 en Inglaterra es el siguiente:
“La transición del movimiento de masas hacia el estadio revolucionario abierto se regresó al campo de la reacción burguesa con los políticos liberal laborales, quienes habían parecido como si fueran la Izquierda. Ellos traicionaron la Huelga General abierta y deliberadamente; después de que debilitaron y traicionaron la huelga de los mineros. La posibilidad de la traición está presente siempre en el contenido reformista. Pero eso no significa que el reformismo y la traición son una y la misma cosa en todo momento”.
Como se puede apreciar, el tema en si mismo es muy interesante, pero mi propósito no es abundar en él, sino aprovecharlo como introducción para escribir sobre un joven inglés de 23 años de edad, de poquísimas palabras en el lenguaje hablado, que en esas fechas escribía su tesis doctoral. Lo que jamás nos cuenta la historia oficial acerca de Paul Dirac, es que él era simpatizante del pensamiento socialista.
Acerca del trabajo de Dirac
Esa manera de pensar en política no lo desvió de su interés fundamental: la física. Mientras sobrevivía con una beca de 93 libras esterlinas al mes, dedicó el mes de mayo de 1926 a la escritura de su tesis doctoral, que presentó ante el jurado el 18 de junio de 1926. Hace justamente 85 años.
En su tesis doctoral desarrolló su formulación de la Mecánica Cuántica a base de operadores. Una concepción que en los textos de esta teoría se maneja como idéntica a la versión matricial de Born, Heisenberg y Jordan. Como abundaré más adelante, eso es falso.
Werner Heisenberg había estado en Cambridge en julio de 1925 para dictar una conferencia acerca de su trabajo, pero desafortunadamente Dirac no estaba en la ciudad en esos días, de modo que no pudo enterarse directamente de la nueva formulación que empezaba a nacer. Según se cuenta, en su exposición pública Heisenberg abundó muy poco sobre los detalles de su artículo, pero en la conversación personal con Ralph Fowler, asesor de Paul Dirac, se extendió lo suficiente como para que Fowler comprendiera que se trataba de algo importante. Este último le pidió que le enviara una copia del artículo tan pronto como pudiera.
La versión de Dirac sobre la mecánica cuántica se inició en los primeros días de septiembre de 1925, cuando el cartero llevó a su casa un paquete enviado por su asesor Ralph Fowler. Contenía un escrito de 15 páginas y una nota breve que decía: “¿Qué piensas de esto? Me gustaría escucharlo”. Las quince hojas estaban escritas en alemán, pues se trataba del artículo de Werner Heisenberg sobre la regla de multiplicación para las cantidades mecánico cuánticas. El trabajo fundacional al que me he referido antes en este blog.
El trabajo de Heisenberg no era una formulación general de la mecánica cuántica, como ahora se relata equivocadamente en los libros de texto. Contenía el planteamiento ya revisado en este blog pero aplicado al oscilador armónico, más una fuerza proporcional al cubo de la posición de dicho oscilador.
Inicialmente el trabajo de Heisenberg le pareció demasiado complicado a Dirac, además de artificial, de modo que lo dejó de lado. Diez días después regresaría a su lectura con una idea muy clara en su mente: la regla de multiplicación de Heisenberg no era conmutativa. Éste era un punto que había preocupado al mismo Heisenberg, pero prefirió no mencionarlo en su artículo fundacional, básicamente por temor a que los árbitros lo juzgaran como un argumento en contra de la publicación de su reporte científico.
Dirac, en cambio, tenía conocimiento de las cantidades no conmutativas, pues había estudiado los cuaternios de Hamilton, así como las álgebras de Grassmann. Los primeros son colecciones de cuatro números en los que cada cuarteta es un solo elemento que puede ser multiplicado por otra cuarteta y tienen propiedades que son matemáticamente muy interesantes. Las álgebras de Grassmann son estructuras matemáticas más abstractas y generales, que tienen la propiedad de que sus elementos no conmutan, sino que en ellos A*B=-B*A, a lo cual se le llama anticonmutación.
Los números que estamos acostumbrados a usar conmutan cuando se multiplican, por ejemplo 2*3 es lo mismo que 3*2, debido a que el primero significa sumar el dos tres veces (2+2+2) para dar el 6, mientras que en el segundo caso de trata de sumar el tres dos veces (3+3) para producir, también, un 6. Desde hace muchas décadas, la aritmética enseñada durante la infancia nos acostumbra a lo anterior, produciendo la sensación de que es lo único que existe. Aparentemente, el mismo Werner Heisenberg tuvo temor de que los árbitros que leerían su artículo pensarían de esta manera.
Volviendo a Paul Dirac, a él le ocurrió exactamente lo contrario: encontró una propiedad característica de la teoría que se escondía detrás del trabajo de Heisenberg y se dispuso a revisarlo. Se ha contado en muchas fuentes que la idea fundamental se le ocurrió a Dirac un día domingo mientras caminaba por el campo. Era un adicto a estas caminatas solitarias y se cuenta que tenía una gran resistencia cuando realizaba esa actividad. También se ha comentado en muchos libros y artículos que regresó a su casa eufórico con la idea en su cabeza, hasta el punto de que intentó exponerle a su familia – obviamente sin éxito – la importancia del carácter no conmutativo del álgebra que estaba utilizando Heisenberg. En 1978 contaría que esa idea llegó a él como un flashazo.
De acuerdo a estos relatos sobre ese domingo creador de Dirac (tuvo muchos de esos días después), le impacientó que las bibliotecas estuvieran cerradas, de modo que se vio en la necesidad de esperar a que el día siguiente (lunes) las mismas abrieran sus puertas. Él mismo contó que acudió a una de ellas tan pronto como la biblioteca abrió sus puertas y que a partir de ese momento se dedicó a trabajar en la idea que traía en su cabeza. Todo partía de una formulación de la mecánica clásica que se llama paréntesis de Poisson. En estos se realiza una operación entre dos funciones definidas sobre algo que los físicos llamamos espacio fase. Esa operación produce un número que a veces es cero y en ocasiones es diferente de cero.
Presentación
El número de funciones que se pueden definir en el espacio fase es infinito, pero cuando se desea tratar un sistema físico solamente unas cuantas son importantes para la descripción teórica del mismo. Una de ellas es la energía del sistema físico.
La energía del sistema físico es como el dueño del balón de fútbol cuando estas jugando. Si está él se puede jugar, pero si se enoja y se va, se lleva la pelota y se acaba el juego. Para los físicos la energía siempre está presente por una razón que comentaré en otra ocasión. En la mecánica clásica hay un caso muy general en el que una función, llamada hamiltoniana, adquiere un papel fundamental: es cuando ésta es independiente del tiempo. Entonces esa función hamiltoniana coincide con la energía.
Como ya escribí, la hamiltoniana está definida en el espacio fase.
Lo interesante de la formulación de la mecánica clásica con base en paréntesis de Poisson es que una función definida en el espacio fase adquiere un papel relevante para describir el sistema si se produce un cero al ser operada con la función hamiltoniana independiente del tiempo. Entonces, esa función entra a formar parte de un conjunto de magnitudes físicas que son importantes en la descripción del sistema.
Pongamos un ejemplo. Una de esas funciones definidas sobre el espacio fase se llama momento angular y cuando es operada con la función hamiltoniana mediante paréntesis de Poisson puede producir un cero, o una cantidad diferente de cero. Cuando se presenta este último caso, el momento angular no nos interesa, pero cuando estamos en el primer caso, la incluimos en nuestro arsenal de herramientas para estudiar al sistema físico. Por ejemplo, cuando se trata de estudiar el movimiento de la Tierra alrededor del Sol, el momento angular es muy importante, en cambio, si queremos estudiar el vuelo de una bala de rifle sobre una llanura, que llega a 200 o 300 metros de distancia, ya no es importante.
La idea de Paul Dirac se inició con una similitud con esta operación que podía dar cero o no. Lo interpretó en términos de que en el primer caso las cantidades sí conmutan, mientras que en el segundo caso no conmutan. El resto del trabajo es de una trascendencia que los libros de texto tienden a minimizar, así que es preferible ir a la fuente original para comprender la profundidad de las ideas de Dirac.
El artículo de Dirac fue publicado en la revista científica Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character, Vol. 109, No. 752 (Dec. 1, 1925), pp. 642-653 . Fue enviado por Ralph Fowler, aunque firmado por Dirac como autor, y fue recibido en el consejo editorial de la revista el 7 de noviembre de 1925.
El nombre del artículo de Dirac es muy sugerente: “The Fundamental Equations of Quantum Mechanics” y su contenido no deja lugar a dudas. A diferencia de Werner Heisenberg, que trataba de romper con la mecánica clásica, Paul Dirac escribió un párrafo muy impactante al final de la introducción de ese trabajo. Yo lo traduzco como sigue:
“En un artículo reciente* Heisenberg presenta una nueva teoría, la cual sugiere que no son las ecuaciones de la mecánica clásica las que están de alguna manera equivocadas, sino que requieren modificación las operaciones matemáticas por medio de las cuales son deducidos los resultados físicos. Toda la información proporcionada por la teoría clásica puede así ser usada en la nueva teoría.”
Ésta es la forma de ver las cosas de Dirac, misma que los libros de texto dejan de lado como si nunca hubiera existido. Partiendo de la regla de multiplicación de Heisenberg, él argumenta durante varias páginas antes de llegar al planteamiento que traduzco como sigue:
“Hacemos la hipótesis fundamental de que la diferencia entre los productos de Heisenberg de dos cantidades cuánticas es igual a ih/2 veces su corchete de Poisson.” Esto se puede leer en la página número 648 de la revista citada.
Una página más adelante, en la número 649, agrega una afirmación que traduzco como sigue:
“La correspondencia entre las teorías clásica y cuántica no está tanto en el acuerdo entre ambas en el límite en que h tiende a 0, sino en el hecho de que las operaciones en las dos teorías obedecen en muchos casos las mismas leyes.”
Paul Dirac trabajó con expresiones matemáticas a las que no llamó matrices, porque en realidad no tienen por qué serlo, como sabemos muy bien ahora. En los libros de texto se les suele llamar operadores, o también, número q. Siempre se nos hace creer que en mecánica cuántica el operador y la matriz son la misma cosa, cuando eso es totalmente falso. Para dejarlo claro procederé a poner un ejemplo.
Podemos tomar un lápiz para hacer descansar su punta sobre una mesa. Cuidando de que ésta no se deslice sobre la superficie de la misma, puedo hacer girar el lápiz para que el borrador cambie de lugar mientras la punta no se mueve. Es un procedimiento que llamamos rotación.
Matemáticamente una rotación puede ser expresada por medio de un operador que nos dice que el proceso se realiza. Pero si escojo coordenadas, puedo representar ese operador por medio de otros entes matemáticos que se llaman matrices. Sin embargo, en el momento en que yo cambio de coordenadas, la matriz será otra. Los físicos le llamamos a eso cambio de representación de una base a otra base. Pero en todos los casos, el operador de rotación sigue siendo el mismo. Más aún, puedo representar las rotaciones mediante otros ente matemáticos, como son los cuaternios, que tampoco son matrices.
En el mismo sentido, la formulación hecha por Paul Dirac recurre a operadores, sin especificar coordenadas, es decir, sin escoger una base, de modo que sus conclusiones son válidas independientemente de la representación que se usa.
Este detalle, y el hecho de que la mecánica clásica y la mecánica cuántica son en el fondo lo mismo, es algo tan increíble como sorprendente, especialmente para los estudiantes de una licenciatura en física. Sin embargo, al aprender la formulación hamiltoniana de la mecánica clásica, así como la formulación de Poisson de la misma, para después comparar con la formulación de la mecánica cuántica con base en operadores, resulta que las expresiones matemáticas de ambas se asemejan de manera sorprendente. Éste fue el concepto de Dirac desde un principio.
Entre los especialistas enterados de esta historia es común afirmar que cinco semanas antes de que llegara el trabajo de Dirac al consejo editorial de la revista, el grupo de alemanes que trabajaban en Gotinga (Born, Heisenberg y Jordan) habían llegado a las mismas conclusiones. Esto es cierto si obviamos el concepto más general de operador con el caso más particular de matriz, aún cuando se agregue la frase: “cualquiera que sea la base para representar a las matrices.”
El mismo Max Born se ufanaba en sus últimos años de haber desarrollado la teoría de operadores para la mecánica cuántica. Se trata de una afirmación parcialmente cierta: en primer lugar, insisto, un operador es una cosa y una matriz es su representación en una base particular seleccionada. En segundo lugar, no lo hizo él solo, pues fue acompañado primero por Pascual Jordan, a quien jamás le dieron un reconocimiento de nada, y después por Werner Heisenberg. Se necesitaban tres cerebros, más la ayuda de matemáticos geniales en Gotinga como David Hilbert, para adelantarse al trabajo de Paul Dirac en cinco semanas.
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