Cien años de la Mecánica Cuántica (el nacimiento de la mecánica matricial)

 

Hace cien años, el 29 de julio de 1925, se recibió en la revista Zeistchrift für Physics el primer artículo fundacional de la que vino a ser la formulación matricial de la mecánica cuántica.

Catorce días antes, en carta de Max Born a Albert Einstein, el primero le hacía saber acerca de varios trabajos que se estaban realizando en Gotinga, Alemania. Entre varias informaciones que se llevaban a cabo en ese año en ese centro de investigación, Born le escribió lo siguiente:

"El nuevo artículo de Heisenberg, que saldrá publicado pronto, resulta bastante enigmático, pero sin duda es correcto y profundo."

Se trata de la carta #49 del volumen intitulado “Born–Einstein Letters, 1916–1955”

En dicho libro, Born agreta un extenso comentario al final de la carta.

“Heisenberg me dio su manuscrito el dia 11 o 12 de julio, pidiéndome que decidiera si se debería publicar o si yo podría hacer algún otro uso de él. No lo leí de inmediato porque estaba cansado y ciertamente lo leí antes de escribirle a Einstein..."

Imagen oficial en el sitio de la universidad donde se aloja el Institut für Theoretische Physik

¿pero qué es la mecánica cuántica?

Es la teoría que permite describir los fenómenos que ocurren a nivel atómico y con partículas subatómicas. Permite calcular y predecir fenómenos asombrosos. Por ejemplo:

·         Es bien conocida la naturaleza discreta de la luz emitida por los gases. 

en lugar del espectro continuo de las lámparas y de diversos emisores de luz.

·         Antes del advenimiento de la teoría cuántica se separaba la física para estudiar cuerpos y partículas del estudio de las ondas, como el sonido, las olas y la luz, pero ahora los experimentos y razonamientos teórico-cuánticos obligaron a unir ambas descripciones en una sola. La razón es que la luz presenta las dos conductas, y como se descubrió después, lo mismo ocurre con los electrones.

·         Otro fenómeno interesante es el paso de partículas a través de barreras de energía que de acuerdo a la teoría clásica no podrían superar y en su lugar rebotarían como lo hace una pelota de juguete contra una pared. Éste se llama efecto túnel y es de uso cotidiano en los circuitos integrados de la electrónica moderna.

En el área industrial, los semiconductores, los instrumentos ópticos, la química industrial y farmacéutica, los materiales avanzados que recurren a la nanotecnología, la energía solar.

 

En un libro de la autoría de Heisenberg intitulado “Encuentros y conversaciones con Einstein y otros ensayos” publicado por Alianza Editorial, éste relata cómo surgió la idea de la famosa regla de multiplicación que posteriormente sería reconocida como una multiplicación de matrices y que daría la pauta para la formulación de la teoría cuántica con base en esta herramienta matemática.

Heisenberg menciona un artículo de Max Born, publicado en el año 1924, en el que se usó por primera vez la frase “mecánica cuántica”. El artículo se llamó justamente “Sobre la mecánica cuántica” y en opinión de Heisenberg se establecía claramente la diferencia entre la mecánica clásica y la cuántica estribaba en sustituir las ecuaciones diferenciales de la teoría clásica por ecuaciones de diferencias de la mecánica cuántica. Por eso me encomendó la tarea de estudiar la teoría de cuaciones de fierencias, muy desarrollada ya por los matemáticos. Lo cual hice con enorme placer estético, pero no sin la sensación  de que los problemas físicos nunca podrían resolverse desde la matemática pura. El verdadero impedimento – que a la sazón ya intuíamos, pero no comprendíamos – era el hecho de que todavía hablábamos, y teníamos que hablar, de órbitas electrónicas; porque las trayectorias electrónicas eran visibles en la cámara de nieblas, así que en el interior del átomo también tenía que haber órbitas electrónicas.

Más adelante, Heisenberg explica que en el otoño invierno de 1924-1925 había estado trabajando en Copenhague con Kramers acerca de la teoría de dispersión de la luz en materiales. Escribió “En relación con esto habían aparecido en las fórmulas del efecto Raman ciertas expresiones matemáticas que en la teoría clásica eran productos de series de Fourier, mientras que en la teoría cuántica había que sustituirlas evidentemente por análogos productos de series que tenían que ver con las amplitudes teórico-cuánticas de las líneas de emisión y absorción. La ley de multiplicación de estas series parecía sencilla y convincente. Tras regresar a Gotinga en el semestre de verano de 1925, una de las primeras discusiones con Born nos llevó a la conclusión de que debería yo itentar adivinar las amplitudes e intensidades correctas del hidrógeno a partir de las correspondientes fórmulas (según el principio de correspondencia) de la teoría clásica.”

Para aprender un poco sobre las series de Fourier y las amplitudes que menciona Heisenberg, recomiendo ir al final de este escrito para consultar una explicación breve sobre el tema.

En lo referente a los recuerdos de Heisenberg que he citado, cabe aclarar que, si bien él se refería a un trabajo desarrollado por él y Kramers, en ese tiempo el efecto Raman no existía enunciado como tal. En ese trabajo Heisenberg y Kramers desarrollaron un modelo semi clásico de la dispersión de luz, de modo que sistemas físicos que eran iluminados con una frecuencia luminosa podían emitir en otras frecuencias diferentes. El efecto Raman fue enunciado hasta 1928 pero había sido predicho teóricamente por el físico austriaco Adolf Gustav Stephan Smekal, quien publicó un artículo en 1923 en la revista Naturwissenschaften. Allí analizaba la interacción de la luz con materiales. Utilizando conceptos cuánticos disponibles en la época, logró demostrar que podía haber dispersión de luz en la cual la frecuencia emitida podría cambiar. La teoría de Heisenberg y Kramers no explica directamente el efecto, pero contiene las herramientas conceptuales para su interpretación con base en la teoría cuántica.

Para enterarse de qué se trata el efecto Raman, he añadido al final de este relato una explicación al respecto.

Regresando al trabajo fundacional de Heisenberg, éste abordó el problema sugerido Max Born, pero lo encontró demasiado complicado, de modo que optó por un sistema físico más simple pero que no fuera demasiado trivial. Para ese propósito agregó un término extra a la ecuación del oscilador armónico.

Hacia fines de mayo, o principios de junio de 1925, Heisenberg adquirió una enfermedad que suele llamarse fiebre del heno, que es una rinitis alérgica causada por una reacción del organismo a sustancias como el polen, los ácaros del polvo o el moho. Sus síntomas suelen incluir secreción nasal, picazón en los ojos, congestión y estornudos frecuentes. Lo curioso es que no es cierto que producen fiebre. Para recuperarse le pidió permiso a Born para retirarse a la isla de Helgoland, que se encuentra en el mar del Norte, al occidente de la actual línea divisoria de Dinamarca con Alemania.

A la izquierda un mapa de Alemania con sus fronteras actuales. Gotinga se marca en rojo. A la derecha la isla del Helgoland, marcada con un punto amarillo.

Lejos de campos llenos de flores, Heisenberg se recuperó y se dedicó a trabajar en el problema que tenía planteado. Sustituyó las coordenadas de posición por unas amplitudes que debían corresponder a las series de Fourier clásicas y escribió el término no lineal, x³, usando la regla de multiplicación que ya había utilizado junto con Kramers en sus estudios de teoría de dispersión de la luz

Sin embargo, al desechar las trayectorias se deshacía también de la regla de cuantización que había introducido Arnold Sommerfeld para generalizar la teoría de Niels Bohr para el átomo de hidrógeno, de modo que ahora tenía que encontrar una regla que ocupara su lugar.

Según Heisenberg, cuando le mostró el trabajo a Max Born, éste lo encontró interesante pero algo extraño porque el concepto de órbita había sido eliminado por completo. Aún así, decidió enviarlo a la revista Zeitschrift für Physik (Revista de Física), que había sido fundada en 1920 por la editorial Springer-Verlag y que después de una serie de fusiones desapareció para dar lugar a European Physical Journal C en los años 1990.

Entregado el trabajo, Heisenberg partió a atender invitaciones de Paul Ehrenfest y Ralph H. Fowler para dar conferencias en Holanda y en Inglaterra. Cuando regresó a Gotinga, se encontró con que su regla de multiplicación era un producto entre matrices. Una herramienta matemática desarrollada en el Reino Unido por James Joseph Sylvester hacia el año 1850 y  habían sido formalizadas por Arthur Cayley. Como se sabe ahora, en el siglo III antes de cristo algunos matemáticos chinos las habían inventado para trabajar con un método de solución de ecuaciones algebraicas, que es muy similar al ahora conocido como método de eliminación de Jordan. Lo interesante era que, inicialmente, Max Born había sido matemático, aprendió las matrices en Cambridge y después en Gotinga, donde además tenía la ventaja de estar en contacto con el gran matemático David Hilbert, y en menor medida, con Felix Klein.

Otro de los estudiantes de Max Born era Pascual Jordan, quien había colaborado con Robert Courant en la escritura de sus libros sobre Métodos Matemáticos de la Física, de modo que fueron justamente Born y Jordan quienes iniciaron la formalización de la nueva teoría cuántica por medio de matrices, dando origen a lo que ahora se llama formulación matricial de la mecánica cuántica. Heisenberg se incorporó algunos meses después, justo a tiempo para contribuir al artículo que da forma final a la formulación matricial de la teoría cuántica. En ocasiones se le llama “el artículo de los tres grandes” y fue publicado en el volumen 35 de la Zeitschrift für Physik. El facsímil del mismo establece que fue recibido el 16 de noviembre de 1925.

El viaje de Heisenberg no fue en vano. En Cambridge dictó una conferencia sobre su más reciente trabajo y dejó a Ralph H. Fowler una copia del artículo que contenía la regla de multiplicación. El joven Paul Dirac no estuvo presente, pero tan pronto como regresó recibió la copia del trabajo de Heisenberg con el encargo de que lo leyera. Así lo hizo, y de manera paralela, en los meses siguientes elaboró su propia teoría de la mecánica cuántica.

El trabajo de Dirac llevaba como título “The Fundamental Equations of Quantum Mechanics” y fue recibido por el Proceedings of the Royal Society A el 7 de noviembre de 1925. Él había trabajado con ideas similares a las de Heisenberg, pero lo había realizado de manera independiente y en total soledad. Establecía la conexión entre los conmutadores cuánticos y los corchetes de Poisson de la mecánica clásica.

 

¿Qué son las series de Fourier de las que hablaba Heisenberg?

Éstas se basan en las ondas senoidales, que son las más elementales posibles como se aprecia en la figura que sigue:

La de la parte superior es media onda, la que le sigue es una onda completa y la que se ubica hasta abajo son cuatro ondas y media. Si hablamos de sonido, la superior es un sonido más grave, similar a las teclas de la izquierda en un piano, en tanto que la de abajo equivale a un sonido más agudo, como las teclas de la derecha en un piano.

En el caso de las guitarras los sonidos graves se producen usando la cuerda sexta y los agudos mediante la cuerda primera.

Cuando se emite un sonido musical se trata de una combinación de muchas ondas senoidales, pero cada una con distinto peso, que se representan mediante las magnitudes b_n, que son las amplitudes a las que se refería Heisenberg, aunque el trataba con ondas de luz. Éstas varían de una onda a otra, como es el caso de la función f(x) que aparece en la fórmula del lado derecho.

¿qué es el efecto Raman?

Cuando vemos el amanecer en una zona desértica, como se aprecia en la siguiente fotografía tomada por Julio Saucedo recientemente:

tenemos que predominan tonalidades rojas. Esto se debe a un efecto de dispersión de la luz solar cuando atraviesa zonas de la atmósfera con una alta densidad de partículas de polvo extremadamente pequeñas. Se llama dispersión de Rayleigh y se caracteriza por el hecho de que la luz que llega a la partícula de polvo, o a una molécula, tiene la misma frecuencia al llegar y al salir, como se ve en la figura siguiente:

Ésta fue la primera que se estudió desde el siglo XIX y es la más intensa. Por esa razón fueron necesarios avances en la instrumentación lo suficientemente eficientes para encontrar que, además, aparecían otras frecuencias diferentes. Como se puede observar en la figura que sigue:

 

hay ondas luminosas con frecuencias diferentes. Eso es el efecto Raman.