Cien años de la Mecánica Cuántica (el nacimiento de la mecánica matricial)

 

Hace cien años, el 29 de julio de 1925, se recibió en la revista Zeistchrift für Physics el primer artículo fundacional de la que vino a ser la formulación matricial de la mecánica cuántica.

Catorce días antes, en carta de Max Born a Albert Einstein, el primero le hacía saber acerca de varios trabajos que se estaban realizando en Gotinga, Alemania. Entre varias informaciones que se llevaban a cabo en ese año en ese centro de investigación, Born le escribió lo siguiente:

"El nuevo artículo de Heisenberg, que saldrá publicado pronto, resulta bastante enigmático, pero sin duda es correcto y profundo."

Se trata de la carta #49 del volumen intitulado “Born–Einstein Letters, 1916–1955”

En dicho libro, Born agreta un extenso comentario al final de la carta.

“Heisenberg me dio su manuscrito el dia 11 o 12 de julio, pidiéndome que decidiera si se debería publicar o si yo podría hacer algún otro uso de él. No lo leí de inmediato porque estaba cansado y ciertamente lo leí antes de escribirle a Einstein..."

Imagen oficial en el sitio de la universidad donde se aloja el Institut für Theoretische Physik

¿pero qué es la mecánica cuántica?

Es la teoría que permite describir los fenómenos que ocurren a nivel atómico y con partículas subatómicas. Permite calcular y predecir fenómenos asombrosos. Por ejemplo:

·         Es bien conocida la naturaleza discreta de la luz emitida por los gases. 

en lugar del espectro continuo de las lámparas y de diversos emisores de luz.

·         Antes del advenimiento de la teoría cuántica se separaba la física para estudiar cuerpos y partículas del estudio de las ondas, como el sonido, las olas y la luz, pero ahora los experimentos y razonamientos teórico-cuánticos obligaron a unir ambas descripciones en una sola. La razón es que la luz presenta las dos conductas, y como se descubrió después, lo mismo ocurre con los electrones.

·         Otro fenómeno interesante es el paso de partículas a través de barreras de energía que de acuerdo a la teoría clásica no podrían superar y en su lugar rebotarían como lo hace una pelota de juguete contra una pared. Éste se llama efecto túnel y es de uso cotidiano en los circuitos integrados de la electrónica moderna.

En el área industrial, los semiconductores, los instrumentos ópticos, la química industrial y farmacéutica, los materiales avanzados que recurren a la nanotecnología, la energía solar.

 

En un libro de la autoría de Heisenberg intitulado “Encuentros y conversaciones con Einstein y otros ensayos” publicado por Alianza Editorial, éste relata cómo surgió la idea de la famosa regla de multiplicación que posteriormente sería reconocida como una multiplicación de matrices y que daría la pauta para la formulación de la teoría cuántica con base en esta herramienta matemática.

Heisenberg menciona un artículo de Max Born, publicado en el año 1924, en el que se usó por primera vez la frase “mecánica cuántica”. El artículo se llamó justamente “Sobre la mecánica cuántica” y en opinión de Heisenberg se establecía claramente la diferencia entre la mecánica clásica y la cuántica estribaba en sustituir las ecuaciones diferenciales de la teoría clásica por ecuaciones de diferencias de la mecánica cuántica. Por eso me encomendó la tarea de estudiar la teoría de cuaciones de fierencias, muy desarrollada ya por los matemáticos. Lo cual hice con enorme placer estético, pero no sin la sensación  de que los problemas físicos nunca podrían resolverse desde la matemática pura. El verdadero impedimento – que a la sazón ya intuíamos, pero no comprendíamos – era el hecho de que todavía hablábamos, y teníamos que hablar, de órbitas electrónicas; porque las trayectorias electrónicas eran visibles en la cámara de nieblas, así que en el interior del átomo también tenía que haber órbitas electrónicas.

Más adelante, Heisenberg explica que en el otoño invierno de 1924-1925 había estado trabajando en Copenhague con Kramers acerca de la teoría de dispersión de la luz en materiales. Escribió “En relación con esto habían aparecido en las fórmulas del efecto Raman ciertas expresiones matemáticas que en la teoría clásica eran productos de series de Fourier, mientras que en la teoría cuántica había que sustituirlas evidentemente por análogos productos de series que tenían que ver con las amplitudes teórico-cuánticas de las líneas de emisión y absorción. La ley de multiplicación de estas series parecía sencilla y convincente. Tras regresar a Gotinga en el semestre de verano de 1925, una de las primeras discusiones con Born nos llevó a la conclusión de que debería yo itentar adivinar las amplitudes e intensidades correctas del hidrógeno a partir de las correspondientes fórmulas (según el principio de correspondencia) de la teoría clásica.”

Para aprender un poco sobre las series de Fourier y las amplitudes que menciona Heisenberg, recomiendo ir al final de este escrito para consultar una explicación breve sobre el tema.

En lo referente a los recuerdos de Heisenberg que he citado, cabe aclarar que, si bien él se refería a un trabajo desarrollado por él y Kramers, en ese tiempo el efecto Raman no existía enunciado como tal. En ese trabajo Heisenberg y Kramers desarrollaron un modelo semi clásico de la dispersión de luz, de modo que sistemas físicos que eran iluminados con una frecuencia luminosa podían emitir en otras frecuencias diferentes. El efecto Raman fue enunciado hasta 1928 pero había sido predicho teóricamente por el físico austriaco Adolf Gustav Stephan Smekal, quien publicó un artículo en 1923 en la revista Naturwissenschaften. Allí analizaba la interacción de la luz con materiales. Utilizando conceptos cuánticos disponibles en la época, logró demostrar que podía haber dispersión de luz en la cual la frecuencia emitida podría cambiar. La teoría de Heisenberg y Kramers no explica directamente el efecto, pero contiene las herramientas conceptuales para su interpretación con base en la teoría cuántica.

Para enterarse de qué se trata el efecto Raman, he añadido al final de este relato una explicación al respecto.

Regresando al trabajo fundacional de Heisenberg, éste abordó el problema sugerido Max Born, pero lo encontró demasiado complicado, de modo que optó por un sistema físico más simple pero que no fuera demasiado trivial. Para ese propósito agregó un término extra a la ecuación del oscilador armónico.

Hacia fines de mayo, o principios de junio de 1925, Heisenberg adquirió una enfermedad que suele llamarse fiebre del heno, que es una rinitis alérgica causada por una reacción del organismo a sustancias como el polen, los ácaros del polvo o el moho. Sus síntomas suelen incluir secreción nasal, picazón en los ojos, congestión y estornudos frecuentes. Lo curioso es que no es cierto que producen fiebre. Para recuperarse le pidió permiso a Born para retirarse a la isla de Helgoland, que se encuentra en el mar del Norte, al occidente de la actual línea divisoria de Dinamarca con Alemania.

A la izquierda un mapa de Alemania con sus fronteras actuales. Gotinga se marca en rojo. A la derecha la isla del Helgoland, marcada con un punto amarillo.

Lejos de campos llenos de flores, Heisenberg se recuperó y se dedicó a trabajar en el problema que tenía planteado. Sustituyó las coordenadas de posición por unas amplitudes que debían corresponder a las series de Fourier clásicas y escribió el término no lineal, x³, usando la regla de multiplicación que ya había utilizado junto con Kramers en sus estudios de teoría de dispersión de la luz

Sin embargo, al desechar las trayectorias se deshacía también de la regla de cuantización que había introducido Arnold Sommerfeld para generalizar la teoría de Niels Bohr para el átomo de hidrógeno, de modo que ahora tenía que encontrar una regla que ocupara su lugar.

Según Heisenberg, cuando le mostró el trabajo a Max Born, éste lo encontró interesante pero algo extraño porque el concepto de órbita había sido eliminado por completo. Aún así, decidió enviarlo a la revista Zeitschrift für Physik (Revista de Física), que había sido fundada en 1920 por la editorial Springer-Verlag y que después de una serie de fusiones desapareció para dar lugar a European Physical Journal C en los años 1990.

Entregado el trabajo, Heisenberg partió a atender invitaciones de Paul Ehrenfest y Ralph H. Fowler para dar conferencias en Holanda y en Inglaterra. Cuando regresó a Gotinga, se encontró con que su regla de multiplicación era un producto entre matrices. Una herramienta matemática desarrollada en el Reino Unido por James Joseph Sylvester hacia el año 1850 y  habían sido formalizadas por Arthur Cayley. Como se sabe ahora, en el siglo III antes de cristo algunos matemáticos chinos las habían inventado para trabajar con un método de solución de ecuaciones algebraicas, que es muy similar al ahora conocido como método de eliminación de Jordan. Lo interesante era que, inicialmente, Max Born había sido matemático, aprendió las matrices en Cambridge y después en Gotinga, donde además tenía la ventaja de estar en contacto con el gran matemático David Hilbert, y en menor medida, con Felix Klein.

Otro de los estudiantes de Max Born era Pascual Jordan, quien había colaborado con Robert Courant en la escritura de sus libros sobre Métodos Matemáticos de la Física, de modo que fueron justamente Born y Jordan quienes iniciaron la formalización de la nueva teoría cuántica por medio de matrices, dando origen a lo que ahora se llama formulación matricial de la mecánica cuántica. Heisenberg se incorporó algunos meses después, justo a tiempo para contribuir al artículo que da forma final a la formulación matricial de la teoría cuántica. En ocasiones se le llama “el artículo de los tres grandes” y fue publicado en el volumen 35 de la Zeitschrift für Physik. El facsímil del mismo establece que fue recibido el 16 de noviembre de 1925.

El viaje de Heisenberg no fue en vano. En Cambridge dictó una conferencia sobre su más reciente trabajo y dejó a Ralph H. Fowler una copia del artículo que contenía la regla de multiplicación. El joven Paul Dirac no estuvo presente, pero tan pronto como regresó recibió la copia del trabajo de Heisenberg con el encargo de que lo leyera. Así lo hizo, y de manera paralela, en los meses siguientes elaboró su propia teoría de la mecánica cuántica.

El trabajo de Dirac llevaba como título “The Fundamental Equations of Quantum Mechanics” y fue recibido por el Proceedings of the Royal Society A el 7 de noviembre de 1925. Él había trabajado con ideas similares a las de Heisenberg, pero lo había realizado de manera independiente y en total soledad. Establecía la conexión entre los conmutadores cuánticos y los corchetes de Poisson de la mecánica clásica.

 

¿Qué son las series de Fourier de las que hablaba Heisenberg?

Éstas se basan en las ondas senoidales, que son las más elementales posibles como se aprecia en la figura que sigue:

La de la parte superior es media onda, la que le sigue es una onda completa y la que se ubica hasta abajo son cuatro ondas y media. Si hablamos de sonido, la superior es un sonido más grave, similar a las teclas de la izquierda en un piano, en tanto que la de abajo equivale a un sonido más agudo, como las teclas de la derecha en un piano.

En el caso de las guitarras los sonidos graves se producen usando la cuerda sexta y los agudos mediante la cuerda primera.

Cuando se emite un sonido musical se trata de una combinación de muchas ondas senoidales, pero cada una con distinto peso, que se representan mediante las magnitudes b_n, que son las amplitudes a las que se refería Heisenberg, aunque el trataba con ondas de luz. Éstas varían de una onda a otra, como es el caso de la función f(x) que aparece en la fórmula del lado derecho.

¿qué es el efecto Raman?

Cuando vemos el amanecer en una zona desértica, como se aprecia en la siguiente fotografía tomada por Julio Saucedo recientemente:

tenemos que predominan tonalidades rojas. Esto se debe a un efecto de dispersión de la luz solar cuando atraviesa zonas de la atmósfera con una alta densidad de partículas de polvo extremadamente pequeñas. Se llama dispersión de Rayleigh y se caracteriza por el hecho de que la luz que llega a la partícula de polvo, o a una molécula, tiene la misma frecuencia al llegar y al salir, como se ve en la figura siguiente:

Ésta fue la primera que se estudió desde el siglo XIX y es la más intensa. Por esa razón fueron necesarios avances en la instrumentación lo suficientemente eficientes para encontrar que, además, aparecían otras frecuencias diferentes. Como se puede observar en la figura que sigue:

 

hay ondas luminosas con frecuencias diferentes. Eso es el efecto Raman.

Algunos recuerdos personales y varios datos poco conocidos sobre el Apolo 11.

 

Algunos recuerdos personales y varios datos poco conocidos sobre el Apolo 11.

Imagen del Google Earth que muestra la parcela que sembrábamos. 

Ya se parece al tango Caminito, de Carlos Gardel.

Contexto familiar.

El 20 de julio de 1969 nos encontrábamos mi hermano, mi papá y yo, en una parcela de cinco hectáreas que se regaba (cuando llovía) con el agua de un pequeño arroyo que nacía cerca de un cerro llamado “El Zacatoso”, a pocos kilómetros de allí.

Vivíamos a 75 kilómetros al sur de Hermosillo, siguiendo la línea del ferrocarril. Era un caserío llamado Estación Moreno, que fue fundado porque el  tren movido con máquinas de vapor,necesitaba agua disponible cada 25 o 30 kilómetros aproximadamente. Se había aprovechado que a 150 metros de la estación  pasaba un arroyo con una cuenca más grande, y por consiguiente, con un manto acuífero aceptable para las necesidades de esas máquinas.

Desde nuestra casa hasta la parcela que nos prestaban había un kilómetro de distancia. La naturaleza era malvada con nosotros, pero no teníamos más opción que insistir en sembrar, a sabiendas de que el fracaso era siempre lo más probable.

Información básica sobre el sistema para volar de la Tierra a la Luna.

El método diseñado para alcanzar la Luna consistió en colocar todo el sistema en una órbita terrestre relativamente baja. A grandes rasgos, el proceso fue como sigue:

El despegue se inició el 16 de julio de 1969 y el APollo 11 tomó una órbita casi circular alrededor de la Tierra. Su perigeo era de 185 kilómetros y su apogeo de 190 kilómetros. Su periodo orbital era de 90 minutos.

Después de una órbita y media se encendió el tercer motor del sistema para cambiar la velocidad de 7.8 km/s a cerca de 10.8 km/s, tomando una nueva órbita que intersectaría con la Luna 76 horas después.

Una vez cerca de la Luna, el 19 de julio, se encendió el motor de la parte del sistema llamado "módulo de servicio" para cambiar la velocidad a 2.4 km/s respecto a la Luna. Los pasajeros eran tres astronautas.

Esta nueva órbita tenía forma de una elipse muy alargada, con 110 km de apolunio y sólo 15 kilómetros de perilunio.

A partir de este último punto se inició la maniobra conocida como "Powered Descent Initiation (PDI)", con sólo dos pasajeros a bordo del módulo lunar.

Algunos detalles desconocidos sobre el vuelo del Apolo 11.

El año 1969 lo recuerdo por la casi nula lluvia que tuvimos y porque ese año ocurrió el esperado vuelo que ahora estamos relatando con mucha brevedad. Era el Apolo 11, que hizo su alunizaje a la 1:17 de la tarde (hora de Hermosillo) y el contacto a pie del astronauta Neil Amstrong a las 7:56 del 20 de julio.

Los reportes históricos mencionan el 21 de julio, pero eso se debe a que el tiempo oficial de la misión era la hora del meridiano de Greenwich, conocido también como Tiempo Universal Coordinado.

En mi familia era tiempo de cierre de la siembra porque las lluvias solían iniciar a mediados de julio. Nos enteramos del alunizaje por las noticias del medio día y desde muy temprano nos habíamos llevado un radio de baterías que captaba las señales de onda larga de la amplitud modulada emitidas desde radiodifusoras comerciales en Guaymas, en Obregón y sobre todo desde Hermosillo. Así vivimos paso a paso la traducción al Español de la narración que se emitía en vivo. Era nuestro único medio disponible, pues nosotros no teníamos electricidad, y de hecho, en Estación Moreno nunca la hubo, a pesar de que a 300 metros de nuestra casa pasaba la línea de corriente que abastecía a Hermosillo. En las ciudades, en cambio, las familias se reunieron frente al televisor para presenciar el resultado de una hazaña tecnológica sin precedentes.

El módulo lunar en foto de la NASA. Publicada en el New York Times.

Lo que nunca nos contaron fue las vicisitudes que vivieron cuando intentaban colocar el módulo lunar en la superficie:

En primer lugar, la computadora a bordo de la pequeña nave falló, y en segundo, el sitio designado para el aterrizaje estaba lleno de rocas y tenía un cráter, lo cual dio lugar a que el piloto (Neil Amstrong) tuviera que manejar manualmente el módulo para encontrar visualmente una alternativa mientras el combustible disponible se acababa.

En el plan original no estaban esas acciones y la improvisación llevó a tener que gastar el combustible hasta un límite en el que ya no hubieran podido regresar si se tardaban 30 segundos más en encontrar un sitio adecuado para el alunizaje.

El primer sobresalto fue la sobrecarga de la computadora. Ésta era una máquina que se llamaba Apollo Guidance Computer y en 1969 era un gran avance tecnológico. Su memoria RAM era 2KB (kilobytes), su memoria fija (ROM) era 36 KB, la velocidad de su reloj era 1 megahertz, tenía una velocidad de casi 85 mil operaciones por segundo. Estaba en una caja de 24x30x12 centímetros y pesaba cerca de 30 kilogramos.

Foto encontrada en Wikipedia. A la izquierda la caja que albergaba la computadora que se aprecia a la derecha.

Podemos darnos una idea de lo limitado de ese sistema si comparamos con la capacidad de cómputo de un celular moderno (año 2025), éste tiene una memoria RAM que es 4 millones de veces superior, memoria de almacenamiento que ya no se mide en kilobytes, sino en gigabytes y su peso es de 150 a 200 gramos

Cuando faltaban 19 minutos para el alunizaje, se veía la superficie desde el módulo lunar (llamado Eagle) y se encontraban a 15 mil 200 metros de altura sobre la superficie con una velocidad horizontal de mil 600 metros por segundo, muy similar a la velocidad que alcanza una bala de cañón moderna capaz de perforar el blindaje de un tanque.

Cuando empezaron el descenso se iniciaron las alarmas de la computadora, que mandaba los códigos de error 1201 y 1202. Estos son:

1201: Desbordamiento del ejecutor - sin conjuntos principales.

1202: Desbordamiento del ejecutor - sin áreas VAC.

Se referían a que la memoria era insuficiente y a que no había operaciones prioritarias.

 El error 1201 comunicaba sobre una inesperada sobrecarga de la computadora y a que no podía asignar memoria de trabajo. Significaba que tenía tantas tareas simultáneas que ya no podía encontrar bloques disponibles de memoria para continuar procesando datos como normalmente lo hacía.

El error 1202 se refería también a la sobrecarga de la computadora y a que no podía asignar espacio temporal para cálculos. El problema era que estaba recibiendo más datos de los que podía procesar y estos provenían de un radar que estaba enviando información redundante.

Afortunadamente, la computadora tenía un sistema de prioridades en el que eliminaba tareas secundarias para dedicarse al procesamiento de las tareas críticas del alunizaje y ésta fue la razón por la que, a pesar de las alarmas, la misión pudo continuar hasta tener un alunizaje exitoso.

Interfase de la computadora a bordo del módulo lunar Eagle.

Casi sin necesidad de agregarle mucho drama, el diálogo entre los astronautas y el centro de control en Houston sería propio de una película de Hollywood.

La alarma del primer error fue dada por Edwin Eugene Aldrin (más conocido como Buzz Aldrin), quien era el segundo de a bordo como piloto del módulo y controlaba la computadora guía, proporcionaba listas de verificación, monitoreaba los parámetros de navegación y supervisaba las alarmas.

Neil Amstrong agregó: "Es un 1202".

Desde Houston se repitió el mismo mensaje y se hizo saber que estaban revisando la alarma.

Casi un minuto y medio después Amstrong repitió. "Alarma de programa. Es un 1201”.

Menos de 10 segundos después se hizo saber que la misión continuaría.

Los registros indican que la orden fue dada por el ingeniero controlador del vuelo. Se llamaba Steve Bales, un joven de 26 años nacido en Iowa, quien basado en la información proporcionada por su equipo de colaboradores, tomó la decisión de no abortar la misión y continuar.

Prototipo del módulo lógico de la computadora a bordo del Eagle.

Iniciaron la fase de desaceleración cuando faltaban 18 minutos para el alunizaje y 2 minutos después ajustaron la trayectoria.

Estaban a 10 kilómetros de la superficie cuando entraron de lleno en la fase de frenado.

A 5 kilómetros de altura iniciaron la fase de maniobra final, y cuando estaban a 2 kilómetros con 600 metros de la superficie, Amstrong empezó la búsqueda visual del lugar para el alunizaje. El sitio seleccionado de antemano no era útil.

A la altura de 1 kilómetro el vuelo pasó a ser completamente manual porque estaban evitando cráteres porque la zona era demasiado escarpada y no permitía el alunizaje.

A 400 metros de altura disminuyeron la velocidad vertical y a 300 metros se inició una fase de desplazamiento lateral.

Faltando 3 minutos para el alunizaje empezaron el descenso final desde una altura de 100 metros sobre la superficie lunar en una región que sí era lo suficientemente plana.

A 60 metros confirmaron que el sitio era seguro y a 20 metros de altura se realizó un movimiento vertical que se tomó 1 minuto hasta tocar la superficie. Habían gastado tanto combustible que sólo les quedaba un margen de 30 segundos más de operaciones de descenso. Un segundo más allá de eso implicaba que no tendrían propulsión suficiente para el regreso hacia la cápsula que orbitaba la Luna.

El resto de la historia es bien conocido. Hasta julio de 1969 Estados Unidos había gastado 25 mil 400 millones de dólares de la época, que tenían un poder adquisitivo 8.6 veces superior a la actual, lo cual nos dice que eran 220 mil millones de dólares del año 2025.

Foto de Julio Saucedo. Tomada de su sitio de facebook.

Cuando Neil Amstrong bajó a tocar la superficie y pronunció su famosa frase, para nosotros hacía mucho que se había ocultado el Sol. En la parcela ya estábamos en la oscuridad y habíamos terminado de construir unos bordos pequeños para controlar el agua del arroyo (si llovía). La Luna estaba resplandeciente, casi llena, e iluminaba el camino de regreso. Caminamos con el radio de batería en una mano, y en la otra, una vara delgada y larga delante de nosotros para rascar el suelo y prevenir la aparición de alguna víbora de cascabel. Al día siguiente sería Luna llena.

 

El Concurso de Física y Matemáticas de este año 2025 es dedicado al profesor José Ángel Cárdenas Madrid

 

Palabras leídas por mi a propósito del reconocimiento a nuestro amigo Ángel Cárdenas.

Terminada la inauguración, y una vez que los funcionarios ya se habían ido, me dieron la voz para decir algunos temas interesantes sobre el trabajo y la personalidad de un profesor admirado y querido por sus alumnos como nunca he visto.

Acerca del profesor Ángel Cárdenas

(7 de mayo de 2025)

Es un honor para mi esta oportunidad de comentar sobre la personalidad y el trabajo del profesor Ángel Cárdenas y felicito al comité organizador por dedicar este concurso en homenaje a su persona.

Ángel nació el 10 de abril de 1958 en la ciudad de Hermosillo. Y falleció en el Hospital Chávez el 15 de octubre de 2011.

Casado con la Dra. Rosa Delia Muñoz Sandoval, formaron una familia orientada a la educación científica y técnica. Veamos qué estudios cursaron sus hijos: Raúl Cárdenas es ingeniero civil, Iván y Nisvan Cárdenas estudiaron licenciatura y maestría en física y tienen estudios de doctorado en esa ciencia. Vitali es químico biólogo, cursó la maestría en física y tiene estudios de doctorado en esa ciencia.

Datos relevantes que indican sus valores familiares y su actitud de ponerla por encima de si mismo, al no privilegiar su desarrollo personal y dedicar su esfuerzo para atenderlos.

Encontré a Ángel como estudiante de la generación 1975-1978 del recién creado Colegio de Bachilleres, fundado meses antes de que la Universidad de Sonora suspendiera inscripciones en su bachillerato para cederles el espacio educativo de ese nivel.

A sugerencia de Sergio Gutiérrez y Rodrigo Rosas, Ángel fue invitado a un grupo de estudiantes en el que se estudiaba física los sábados por la mañana. Para probar la dedicación con la que tomaría nuestros esfuerzos, le pedí una exposición sobre cinemática. No recuerdo cuál era el tema, pero tengo en la mente la figura de un joven desinteresado en su vestimenta, muy cuidadoso al plantear correctamente su desarrollo en el pizarrón, pero con un lenguaje que causaba gracia al referirse a la velocidad como “la v morrita”.

La confianza creció hasta que una sección de aquel grupo nos reuníamos a estudiar filosofía e historia de la ciencia. Aspectos que después siguió desarrollando personalmente hasta alcanzar una sabiduría enorme, que nunca estuvo validada por los títulos.

Aquella generación resultó muy crítica e inquieta frente a los valores sociales. Característica que se manifestó cuando egresaron y se encontraron a una Universidad de Sonora que pretendía aplicar exámenes de admisión y cobro de cuotas. Como era de esperarse protestaron, pero las autoridades lo abordaron por la vía de infiltrar al naciente movimiento con las personas adecuadas para radicalizar sus posturas y reprimirlos. En el desenlace de aquel desencuentro se eliminó el propósito de las autoridades, pero impidieron el ingreso a varios de estos jóvenes bachilleres, enviándolos a errar por el mundo buscando un lugar donde los admitieran para estudiar física. De esa manera encontramos a Ángel en Puebla un año después, estudiando esta ciencia para regresar a la ciudad de Hermosillo en el año 1988.

Inició como profesor del Colegio de Bachilleres en el año de 1995, donde contribuyó a formar un club de física que dio lugar a un ambiente cultural donde la ciencia y la educación eran profundamente valoradas como parte del progreso social y cultural.

Su personalidad como profesor fue tan especial que aún ahora la mayoría de los estudiantes que contactaron con él lo recuerdan con admiración y con cariño. Entrevistada para escribir estas palabras, una de estas personas me proporcionó comentarios que ahora sintetizo:

Generaba confianza contando chistes y escuchando música de Real de Catorce, Joaquín Sabina y Black Sabbath. Al platicar sobre ciencia hacía que uno quisiera saber más y tenía la habilidad de hacerla muy entretenida usando ejemplos excepcionales. Trabajaba con ejercicios que siempre eran divertidos, entendibles y alimentaban la curiosidad sobre el tema. Generaba nuestra confianza cuando apreciábamos cómo buscaba la manera de explicarse hasta que se hacía entender. Evitaba intimidar al alumno y ante las dificultades se ponía de nuestro lado. Defendía el derecho del estudiante y conservaba un semblante relajado y jovial, lo que trasmitía mucha confianza. Muchas personas logramos desenvolvernos de mejor forma y superar nuestras inhibiciones. Fuimos muchos quienes de pronto tuvimos un boom en el desempeño académico cuando nos empezó a dar clases y que, cuando teníamos problemas para comprender algunas cosas, nos hacía saber que no teníamos que adaptarnos a él, pues era él quien debía adaptarse a nosotros para poder transmitir lo que quería que aprendiéramos. Nos hizo relajarnos hasta dejar el modo de supervivencia y así nuestra mente pudo despejarse para dar paso a la comprensión.

El impacto que Ángel causó con esa manera de trabajar se extiende muy lejos en el tiempo. Ahora dos personas que estuvieron cerca de ese ambiente son doctores en ciencias y trabajan para el Departamento de Física, y dos personas más van a obtener su doctorado en una universidad del vecino país en el próximo verano.

Conviene a todos nosotros tener presente que en la educación ocurre como en la historia que nos cuentan cuando dicen que el faraón Keops construyó una gran pirámide en Egipto, cuando en realidad jamás acarreó ni una piedra. Siempre que veamos una foto de alguien que logra su licenciatura, su maestría o su doctorado, debemos recordar que allí no están muchas de las personas que influyeron sobre su desarrollo académico.

Ángel tuvo siempre un profundo interés social y se apreciaba en sus gustos musicales, como fue el caso de la banda inglesa Jethro Tull, destacada por su aguda crítica social, expresada mediante un tipo de rock que clasifican como rock progresivo y folk. En sus letras abordaban temas como la hipocresía religiosa, la desigualdad social y el conformismo, recurriendo a personajes marginales como Aqualung, un hombre viejo y decadente que miraba con lascivia a las jóvenes, o Mary la de los ojos bizcos, que siendo apenas una adolescente se prostituía para intentar escapar de su pobreza.

En el año 2000 escuchó una señal de radio muy tenue que apenas escaba de la barda universitaria. Se emitía desde un pequeño local en la Universidad de Sonora y usaba la banda de 107.5 MHz. Se llamaba Radio Bemba y Ángel anotó los datos, los llamó por teléfono y se ofreció a colaborar. Allí fuimos invitados 8 años después, cuando tenía instalaciones en la colonia 5 de mayo, donde le ayudamos a emitir más de cien programas sobre ciencias. Con una hora cada uno. Se llamó Vox Populi de la Ciencia y tenía como entrada una canción de Joan Manuel Serrat que se llama “Cada Loco con su Tema”. Esto refleja su manera de enfocar el trabajo educativo, trataba de generar ambientes apropiados para el intercambio de conocimientos trabajando paso a paso y desde abajo, lejos de los actos transitorios, sin historia y sin efecto posterior. Este esfuerzo de Ángel no tiene registro institucional en el Colegio de Bachilleres ni en la Universidad de Sonora. Por el contrario, algunas veces esa institución le descontó una hora de su sueldo por llegar más de 10 minutos tarde, sin importarles que justo acababa de salir de uno de estos programas que menciono. El programa terminó con su partida y en el tintero del programa se quedaron varios temas por tocar. Entre ellos uno sobre la vida y la obra de Adolfo Sánchez Vázquez de quien quería que abordáramos el libro Filosofía de la Praxis. Cierro tratando de sintetizar su manera de ver la vida parafraseando dos declaraciones atribuidas a la filósofa y activista afroamericana Ángela Davies: No queremos aceptar las cosas que no podemos cambiar, tratamos de cambiar las cosas que no podemos aceptar. Si no nos atrevemos a imaginar un mundo mejor, nunca lo vamos a tener.