Navidad de 1938 (Un paseo en la nieve)

 

En diciembre de 1938, se encontraba nevado el campo que rodea a un pueblo de Suecia llamado Kungälv. Una pequeña población localizada a 14 kilómetros de Gotemburgo, la segunda ciudad más importante de ese país.

Allí se encontraron la muy prestigiada científica Lise Meitner y Robert Otto Frisch. Ella acababa de cumplir sesenta años de edad el 7 de noviembre anterior y Robert estaba estrenando sus 34 años.

La madre de Robert Otto Frisch se llamaba Auguste Meitner y era hermana de Lise Meitner. Él había nacido en Viena Austria en 1904, en el seno de una familia que se desenvolvía en un ambiente intelectual. Su tía Lise, a quien nunca le dieron el Premio Nobel por su participación en el descubrimiento de la fisión nuclear, lo hizo interesarse en la física y se doctoró en 1926 en la Universidad de Viena con una tesis de corte experimental sobre descargas eléctricas en gases. Como casi todos los jóvenes talentosos que se dedicaban a la física en ese periodo que ahora llamamos “entre guerras”, deambuló por varias instituciones europeas viviendo de becas, estancias temporales y contratos de corta duración. Así fue como en el año de 1938 estaba en el Instituto Bohr, un centro de investigación que en 1938 vivía una situación financiera delicada porque no recibía un presupuesto fijo del Estado, que lo apoyaba sólo de manera parcial. El resto de los recursos venían de la filantropía privada que obtenía gracias al prestigio internacional del que gozaba esa institución. Uno de los respaldos más importantes provenía de la Fundación  Carlsberg, una empresa cervecera danesa que pagaba el salario de Niels Bohr y daba becas para investigadores visitantes. Entre las ayudas proporcionadas al Instituto habían estado la Rockefeller Foundation de los Estados Unidos y el International Education Board, que de 1923 a 1938 estuvo financiando proyectos científicos.  En sus memorias, Robert Otto Frisch escribió que en ese tiempo no sabía dónde estaría al año siguiente.

¿Por qué estaba Meitner en Suecia? En octubre de 2011 publiqué en mi blog varios detalles de la forma en que Lise Meitner escapó de Alemania en julio de 1938. El relato es digno de un libreto para una película de suspenso y puede ser consultado en la siguiente dirección:

https://fisicahistoriayasuntosuniversitarios.blogspot.com/2011/10/el-escape-de-lise-meitner-de-alemania.html

Lise no encontró trabajo a su llegada a Suecia y se le brindó respaldo para trabajar en el Instituto Nobel de Física. Tenía un escritorio y un espacio de trabajo, pero en condiciones económicas precarias y con muy poco apoyo.

Como ya mencioné antes, durante las vacaciones de navidad, Meitner se reunió en Kungälv con su sobrino Otto Robert Frisch. 

Para hablar de manera tranquila, ambos salieron a caminar por el bosque nevado. Ella llevaba varios días pensando en unos resultados experimentales muy desconcertantes que le había enviado Otto Hahn, quien junto con Fritz Strassmann había estado bombardeando muestras de uranio con haces de neutrones. Esperaban encontrar elementos más pesados que el uranio, pero en los experimentos para caracterizar los materiales resultantes aparecían elementos como el bario, que se encuentra a la mitad de la tabla periódica.

Según Ruth Lewin Sime, biógrafa de Lise, se pusieron a conversar en el tema en medio del campo nevado. Ella manejaba de memoria la fórmula de Weizsäcker para el cálculo de la energía de un núcleo.

 Si Z es el número de protones en un núcleo y N es el número de neutrones, la suma A = Z +N nos da un número de partículas que ahora llamamos nucleones.

La expresión para la energía que estaba disponible en 1938, antes de que se construyera de manera completa con otras contribuciones, era la que sigue:

 

donde  es el costo energético para mantener la tensión superficial de un núcleo supuestamente esférico y   es la energía necesaria para confinar protones en una esfera.

El primer término nos dice cuánta energía está disponible para mantener al núcleo unido. 

El segundo término nos dice cuánto es la energía de repulsión de los protones, que tienden a separarse y a deshacer el núcleo.

Meitner sabía que el valor numérico de  sería 17.3 millones de electron volts o 18.1 millones de electron volts. En tanto que el valor de  sería 0.69 millones de electron volts o 0.72 de esa unidad de medida de energía.

A la luz de esa fórmula, ella comprendió que el número de protones Z incrementaba la repulsión entre los protones en la esfera a razón de un poco más del 2% al pasar de Z=90 (torio) a Z=91 (protactinio) y de nuevo otro 2% al saltar de Z=91 a Z=92 (uranio). De esa forma, pasar del elemento 90 (torio) al elemento 92 (uranio) implicaba el crecimiento de la energía coulombiana en más de 4%.

En cambio, la tensión superficial que mantenía unido al núcleo, dada por el valor del total de nucleones, A, elevado a la potencia 2/3, dando por consecuencia que apenas crecía en 1.4% al pasar de 230 a 235 nucleones.

A los ojos de Meitner y Frisch, esto demostraba que la repulsión estaba creciendo muy rápidamente mientras la energía de la tensión superficial lo hacía con demasiada lentitud.

Comprendieron que al tratar de ir más allá del elemento 92 (uranio), la tensión superficial ya no había sido suficiente para mantener unido al núcleo, que necesariamente tendría que partirse.

Escribiendo los números en la nieve, como relata Ruth Lewin, el cálculo les permitió saber que al ocurrir un bombardeo con neutrones habría de surgir una energía sobrante de aproximadamente 200 millones de electron volts por cada átomo partido, mismos que serían desprendidos durante la partición atómica. Por analogía con una forma de reproducción de las células, Otto Frisch, le llamó fisión.

A principios de enero de 1939 Otto Frisch estaba de regreso en Copenhague y diseñó un experimento muy simple. Su objetivo era detectar los fragmentos pesados que deberían resultar si el uranio se fisionaba como se predecía con el cálculo de Meitner. Nadie había detectado nunca esa clase de fragmentos de manera directa y sólo se disponía de los resultados químicos indirectos de Hahn y Strassmann.

Frisch utilizó una cámara de ionización, una muestra delgada de uranio y una fuente de neutrones. Si los fragmentos eran tan energéticos como la teoría de Meitner predecía, deberían producir una ionización enorme, que sería posible solamente si la energía de las partes desprendidas era de millones de electron volts.

Como esperaba, Otto Frisch observó una ionización mucho mayor que las producidas por las partículas alfa, un fenómeno bastante bien estudiado desde hacía décadas. El resultado era que las energías cinéticas involucradas eran tan grandes que nunca se había encontrado nada similar.

No había margen para la duda. No era un proceso químico, ni una desintegración alfa, no se trataba de una transmutación suave en la que un núcleo de un isótopo inestable se modifica para dar paso a uno ligeramente más liviano.

Se trataba de una ruptura violenta del núcleo y se había calculado sobre la nieve de navidad mientras Lise Meitner y Robert Otto Fisch caminaban por el bosque.

Cuentan que los europeos vinieron a civilizar "las américas".

 

Cuentan que los europeos vinieron a civilizar "las américas".

Cuando expulsaron a los árabes y a los judíos zefarditas de la península ibérica, se quedaron los más agresivos, peleoneros e intrigantes, pero también más ignorantes.

Esos son los que traían su "civilización". Noten las comillas.

Encontraron civilizaciones que registraban los movimientos del Sol, la Luna, Venus, las Pléyades y otras estrellas y constelaciones.

Calculaban y predecían los equinoccios, las eclipses de Luna, los ciclos sinódicos de Venus.

Manejaban simultáneamente un calendario solar de 365 días, otro de 260 días de naturaleza ritual y los hacían coincidir en periodos que todavía en el siglo XX estaban siendo estudiados porque los civilizados quemaron más de cien mil códigos mayas y toda la biblioteca de Netzahualcoyotl.

Según León Portilla el calendario del México Antiguo (como escribía Eli de Gortari) era más preciso que el gregoriano que traían de Europa.

En las matemáticas usaban el cero, notación posicional de base 20 y para multiplicar no necesitaban memorizarse las tablas como en los números arábigos.

Sus edificios estaban alineados con base en observaciones astronómicas, sabían cuando pasaría el Sol por el cenit, lo mismo que las pléyades.

La Gran Tenochtitlán, era una maravillosa aplicación de la hidráulica, con un sistema de acueductos, diques y canales en los que se podían trasladar, separar el agua salada del lago de Texcoco de las aguas dulces de la región de Xochimilco.

Manejaban un sistema de chinampas para la producción agrícola. Es decir, islas flotantes que eran construidas con métodos exclusivos del área. Todo completamente sustentable. Ecológico dirían ahora.

Los Incas tenían un sistema de tallado de la piedra para hacerlas ensamblarse, de modo que las superficies de las rocas distintas se unían poderosamente. Ahora los físicos sabemos que el motivo eran las interacciones atómicas que resultaban de la enorme precisión del tallado.

Nos deben el maíz, el cacao, el chile, el frijol, la calabaza, el tomate, el amaranto y la papa. Sin esta última habrían muerto de hambre más millones de personas de las que fallecieron en sus hambrunas europeas.

Había una herbolaria muy avanzada, con jardínes botánicos cultivados exprofeso para tenerasl siempre disponibles y manejanban conceptos de equeilibrio de humores y de energía vital, como se diría ahora.

La iconografía y la arquitectura mostraban simetrías con patrones similares a los fractales y a la proporción áurea. Todo en una forma de matemáticas aplicadas.

No usaban el hierro ni la rueda, pero dominaban el oro, el cobre y el bronce con técnicas de fundición, de laminado y con aleaciones hechas para fines ornamentales y rituales.

Había escuelas formales para los nobles, donde enseñaban escritura, astronomía, historia, filosofía y poesía.

Aparte estaba la escuela para el pueblo, con instrucción práctica y militar, además de valores morales.

No se asusten por este sistema de escolaridad. Es lo mismo que hacen los grignos con los colleges y las universidades.

El sistema del Nahuatl, como se ha estudiado ahora, tenía morfología polisintética y aglutinante al estilo del idioma Alemán que unificara y estandarizara Martin Lutero en el siglo XVI.

Los mayas desarrollaron mitos cosmogónicos muy bellos, como en el Popol Vuh y en el Nahuatl existía el Huehuetlajtolli, que eran tratados filosóficos y religiosos. Según algunos especialistas, eran verdaderos tratados de ética humanista que se centraba en el equilibrio y en la templanza.

Las escuelas de pensamiento, como la de Texcoco, han sido consideradas equivalentes a los centros humanistas del renacimiento europeo.

¿Entonces de qué presumen?

La justificación de un secuestro

 

La justificación de un secuestro.

(6 de octubre de 2025)

El 1º de octubre de 2025, el ejército de Israel interceptó y secuestró en aguas internacionales a una flotilla de varios barcos pequeños que llevaban ayuda humanitaria a Gaza. Hasta esa fecha destruida en más del 50% de sus edificaciones y con más del 70% de sus construcciones dañadas o convertidas en polvo.

El 6 de octubre siguiente, se produce la noticia de que, finalmente, seis mexicanos y mexicanas serían liberados. Veamos cómo da la noticia el bien conocido sistema de noticias de Hermosillo, Sonora, que lleva por nombre “Proyecto Puente”.

La cabeza de la noticia es:

“Gobierno israelí permite retorno de mexicanos implicados en flotilla hacia Gaza”

Una frase que reúne en tan solo once palabras una carga de ideología, de relaciones de poder y de estrategia discursiva.

Aparenta que se trata de un hecho objetivo, pero muestra un supuesto derecho del gobierno israelí para autorizar, o no, que regresen a su país un grupo de personas mexicanas que participaron en una flotilla hacia Gaza.

Aparentemente ofrece información neutra propia del lenguaje periodístico, ¿pero cuáles valores e ideologías contiene?

Primero: el gobierno israelí es una autoridad que tiene el control y la legitimidad, tal que con la palabra: permite, muestra una asimetría de poder, dejando de lado que las personas fueron secuestradas en aguas internacionales.

Segundo: Genera una idea de soberanía y de dominación administrativa legítima.

Tercero: la frase: “mexicanos implicados” no es neutral, pues tiene una connotación de culpa y de sospecha en la participación de un acto ilícito.

Cuarto: La frase no contiene al sujeto que produce el enunciado y contribuye a la falsa idea de objetividad cuando en realidad existe una evidente toma de partido.

Quinto: La frase “mexicanos implicados” eleva al gobierno secuestrador a un nivel de legitimidad que no se apoya en el derecho internacional pues fue fundado por un acuerdo de la Organización de Naciones Unidas en 1947 sin que nadie se detuviera a revisar que no estaba entre sus facultades hacerlo. En principio, el territorio regalado estaba habitado por personas que no fueron tomadas en cuenta.

Sexto: Los mexicanos aparecen como agentes marginales, vigilados o disciplinados por una autoridad extranjera. ¿Y Gaza? Bueno, pues ese no pasa de ser un espacio simbólico que, como de costumbre, no tiene voz.

 

Física en el Sismo del 19 de septiembre de 1985 en México

Las anteriores son fotos publicadas por el diario La Jornada, que ha retomado el 20 de septiembre de 2025, como parte de sus trabajos conmemorativos de la tragedia ocurrida 40 años antes. El día posterior a la tragedia. En la segunda fotografía aparece el Hotel Regis convertido en escombros.

Inicio con un par de anécdotas: siete días antes, el 12 de septiembre de 1985, yo había estado hospedado allí mientras realizaba un conjunto de contactos con dirigentes políticos y sindicales en representación del sindicato de personal académico al que he estado afiliado. El día 19 de septiembre, como culminación de los trabajos sindicales, el secretario general de nuestro sindicato estaba en esa ciudad y tenía reservación para ese mismo hotel. Nunca ocupó la habitación que le habíamos reservado porque el cheque para sus viáticos no salió a tiempo, y como consecuencia, se hospedó gratuitamente en el departamento de un amigo suyo.

Objetivo y hechos relevantes

En esta contribución al blog de Vox Populi de la Ciencia se abordan algunos aspectos de la física que ayuda a entender mejor la característica tremendamente destructiva del sismo ocurrido en México a las 7 horas con 19 minutos de la ciudad de México. Aunque se consultan otras fuentes, me baso principalmente en el trabajo publicado en la revista Nature, Vol. 326, del 23 de abril de 1987, con la autoría de Jorge Andrés Flores Valdés, Octavio Novaro Peñalosa y Thomas Henry Seligman Schurch como autores. Con agradecimientos a Rafael Pérez Pascual, Tomás Brody y Bernhard Lesche, de la Universidad Nacional Autónoma de México y Fernando del Rio y M. Chávez de la Universidad Autónoma Metropolitana. Probablemente se trata de Margarita Chávez Martínez. El título del artículo es “Possible resonance effect in the distribution of earthquake damege in Mexico City”.

El sismo se originó frente en la costa del Océano Pacífico, cerca de la desembocadura del río Balsas, a 350 kilómetros de la Ciudad de México. La onda sísmica golpeó los poblados cercanos a Ciudad Lázaro Cárdenas a las 7 de la mañana con 17 minutos y dos minutos después llegó a la Ciudad de México. la siguiente figura, perteneciente a la USGS, muestra el sitio dónde se originó el sismo.

En el trabajo de: Moreno J M (1995), The 1985 Mexico EarthQuake. Geofis. Colomb. 3:5-19 ISSN 0121-2974 se presenta una gráfica de la forma en que el movimiento de la placa de Cocos fue presionando sobre la placa de Norte América hasta generar (entre otros efectos distribuidos en el tiempo) el movimiento sísmico que estamos analizando desde un punto de vista poco conocido por el público.

Antes del sismo de 1985 se había registrado en México otro sismo al cual se le atribuye también una magnitud de 8.1 grados en la escala de Richter. Ocurrió en 1932 en Jalisco y lo he discutido brevemente en otra contribución a este blog.

Según Moreno J M, el sismo causó más de 10 mil muertes en la Ciudad de México y 250 mil personas sin casa. Cifras más recientes ofrecen una discrepancia importante entre las afirmaciones del gobierno mexicano y las estimaciones de las organizaciones no gubernamentales que se han ocupado del tema. Los datos se ofrecen en la siguiente tabla:

Categoría	Cifras oficiales del Gobierno de México	Estimaciones independientes (ONG)
Fallecidos	Del orden de 10 000	De 20 000 a 30 000
Personas sin vivienda	Del orden de 250 000	De 250 000 a 300 000
Población afectada en general	Del orden de 400 000	De 700 mil a un millón
Edificios colapsados	Del orden de 3 000	De 3 000 a 5 000
Edificios con daños graves	Del orden de 30 000	De 30 000 a 50 000

 

Dos días después, a las 7 horas de la tarde del 21 de septiembre, otro sismo proveniente de la misma región volvió a golpear la ciudad con una magnitud de 7.5 en la escala de Richter.

Conceptos y datos relevantes para la explicación desde la perspectiva de la física

Las magnitudes de la aceleración durante un sismo

Las aceleraciones provocadas por los sismos sobre los objetos localizados en la superficie terrestre se miden en submúltiplos de la aceleración de la gravedad g = 9.81 metros sobre segundo al cuadrado. Los acelerógrafos distribuidos en el Valle de México registraron aceleraciones muy variadas. Por ejemplo, en la zona sur del mismo, donde el suelo es muy duro porque está formado por camas de lava, la aceleración fue de a₁ = 0.07g, que es 0.686 metros sobre segundo al cuadrado. En cambio, en el centro de la ciudad, se llegaron a registrar aceleraciones de a₂ = 0.2g que corresponde a 1.96 metros sobre segundo al cuadrado.

Para comprender la magnitud de esta aceleración, podemos imaginar un automóvil sobre una carretera recta que arranca desde velocidad cero. Si se acelera con magnitud a₂  alcanzará una velocidad de 100 kilómetros por hora en 14.17 segundos.

En sismología es usual reportar las aceleraciones en una unidad de medida llamada “gal” y corresponde a 1 centímetro sobre segundo al cuadrado. Convirtiendo al sistema internacional usado en física, 1 gal es igual a 0.01 m sobre segundo al cuadradado. Si se quiere reportar la aceleración g de la gravedad, se tiene que g = 980 gals.

Un terremoto moderado puede registrar aceleraciones de 100-500 gal y un sismo destructivo como el de Japón en el año 2011 superó los 2 000 gal en algunas zonas. Regresando a la comparación de 0.2g, resulta que ésta no puede ser superada por un joven que corre satisfactoriamente 100 metros. Para convencernos de que es así, necesitaríamos considerar la carrera de Usain Bolt, el corredor plusmarquista de Jamaica. Cuando impuso el récord de 9.58 segundos en 100 metros, en Berlín en el año 2009, logró una velocidad promedio de 10.44 metros por segundo, pero cuando había recorrido 52.5 metros llevaba una velocidad de 12.32 metros por segundo. De lo anterior resulta que la aceleración desarrollada fue de 2.35 metros sobre segundo al cuadrado, es decir 235 gal.

Las ondas P (longitudinales) y las ondas S (transversales)

Las ondas sísmicas son vibraciones del terreno similares a las que ocurren en sólidos y se clasifican con base en su orientación respecto a la dirección de propagación de la onda. Pueden ser longitudinales o transversales. Cuando ocurre un sismo, las ondas longitudinales son más rápidas y llegan primero al sitio en que se encuentra un poblado o una estación de monitoreo sísmico. Por esa razón les llaman ondas P (de primarias). Las ondas transversales son más lentas y reciben el nombre de ondas S, debido a que llegan después al sitio de registro (secundarias). Si se tienen datos suficientes, las diferencias entre los tiempos de llegada de ellas ayuda a hacer una estimación del sitio dónde se originó el sismo.

Cuando las ondas sísmicas alcanzan un conjunto de edificios, generan un movimiento horizontal que se siente como un balanceo horizontal de los edificios y las construcciones las resisten mejor. Cuando llegan las ondas P se inicia un movimiento hacia arriba y hacia abajo, pero con la característica de que son más destructivas debido a su mayor energía y porque las construcciones son menos resistentes a esos movimientos.

La figura que sigue muestra cómo son las vibraciones de ambos tipos de ondas:

La estructura de capas del suelo en la Ciudad de México

La información que se usa se basa en los resultados disponibles hace varias décadas y en la actualidad están superadas por los estudios especializados modernos. Por consiguiente, deben tomarse como una descripción cualitativa que resulta suficiente para el objetivo de esta contribución a mi blog.

Según Juan Manuel Moreno Murillo, en su artículo "The 1985 México Earthquake", la moderna Ciudad de México se asienta sobre el antiguo lecho del lago de Texcoco. Esto está compuesto por gruesas arcillas lacustres del Pleistoceno pertenecientes a la Formación Tacubaya. Esta arcilla es montmorillonita e illita que resultó de la ceniza volcánica depositada en el lago. El espesor de la arcilla varía a lo largo del lecho del lago, pero generalmente se encuentra entre 7 y 37 metros de profundidad. Después sigue la primera capa dura, que tiene de 1 a 3 metros de espesor y consiste principalmente de arena. A una profundidad de 50 metros se encuentra una segunda capa dura, formada también de arena. Después existe un complejo conglomerado de suelo que contiene muchos tamaños de granos, incluyendo rocas grandes, hasta llegar a la roca madre.

Las partes occidental y noroeste de la ciudad se encuentran fuera del antiguo límite del lago y están situadas sobre arenas y limos de la Formación Tarango, que es una secuencia geológica formada por depósitos sedimentarios de origen fluvial, intercalados con materiales volcánicos. Se encuentra en el área del valle y las laderas bajas de las montañas circundantes. Esta formación tiene un espesor de aproximadamente 600 metros.

Muchos edificios altos de la Ciudad de México, localizados en el lecho del lago, tienen cimientos hechos con pilotes que atraviesan las arcillas suaves de Tacubaya y están enterrados hasta las capas más compactas de la Formación Tarango. La parte sur de la ciudad descansa sobre flujos de lava basáltica, siendo los más recientes de hace aproximadamente 2400 años. A estos flujos de lava generalmente se les denomina “pedregal”.

La amplificación de las ondas

La amplificación de una onda es el aumento en la amplitud del movimiento de oscilación del suelo debido a las propiedades locales del terreno. Cuando una onda sísmica llega a un suelo blando crece la amplitud de la onda, dando la impresión a la población de que el movimiento es más poderoso, pero independientemente de las sensaciones personales, la oscilación es más agresiva contra las edificaciones de esa zona. En cambio los suelos duros, como la roca volcánica o los suelos compactos, no amplifican tanto las ondas, dando lugar a que el movimiento se perciba más débil. La Ciudad de México es un ejemplo de esta índole: la zona lacustre tiene suelo arcilloso y es muy blando, con lo cual se obtiene una amplificación más alta. Allí la vibración de los edificios es mayor en magnitud. En cambio, en la zona de transición hacia la zona más dura, localizada principalmente en el sur y el poniente de la ciudad, la amplificación es más moderada. En el otro extremo, en la zona sur y occidental, que tiene roca basáltica y suelos firmes las vibraciones sísmicas tienen una amplificación mucho menor.

Cuando la onda sísmica llega al Valle de México cruza montañas con suelo duro y al entrar en la zona blanda, donde se encuentra el centro de la ciudad, la amplitud de la oscilación crece como se muestra en la figura que sigue. En ésta, la zona de suelo duro corresponde a los valores negativos en la horizontal, mientras que la zona blanda se representa en los valores positivos la coordenada horizontal.

El reporte de Flores y colaboradores publicado en Nature en 1986

Flores y colaboradores prestaron atención al hecho de que el terremoto había causado daños con un patrón en el que la destrucción se concentró en la región del antiguo lago y muy especialmente donde estuvieron los canales que tenía la gran Tenochtitlán y que fueron rellenados por orden de los gobernantes españoles. En un mapa de daños se pudo notar que había zonas dañadas intercaladas con otras, muy cercanas, que habían quedado casi intactas. Notaron que se parecía a un fenómeno con ondas estacionarias, lo plantearon como hipótesis de trabajo para ser analizada y dedicaron su esfuerzo a resolver un problema similar. Es decir, buscaron un modelo simplificado que, a juicio de ellos, retuviera los aspectos más importantes del fenómeno real. Obviamente, tratando de conservar las propiedades que consideraron más importantes.

Estudiaron una superficie elástica cuya forma se asemejara lo más posible a la zona del antiguo lago, con las zonas duras como fronteras. Enseguida tomaron las ecuaciones de Navier–Stokes, que aunque fueron formuladas originalmente para fluidos. Suelen ser aprovechadas para describir materiales blandos, como geles, gelatinas, polímeros blandos o suspensiones coloidales. Realizaron varias aproximaciones para llevarlas a un problema más sencillo que consistió en dos ecuaciones de Poisson acopladas: una para las ondas P y otra para las ondas S.

Con la tecnología de la época pudieron resolver el problema mediante métodos numéricos y calcularon las deformaciones que podría tener la superficie gelatinosa.

El enfoque matemático pudo proporcionar vibraciones con varias frecuencias distintas, pero a partir de los datos sobre aceleraciones disponibles podían determinar que las ondas tenían una frecuencia dominante: una oscilación cada dos segundos. La siguiente figura está tomada del artículo de Flores y colaboradores. Presenta los valores de las aceleraciones en la componente vertical y el tiempo en la componente horizontal.

El tiempo que dura una oscilación se llama periodo y en este caso resultó sumamente relevante, pues de acuerdo a los especialistas de la ingeniería es esa la frecuencia de oscilación de los edificios de 5 hasta 15 pisos. Por eso ocurrió que, durante los dos minutos que duró el sismo, se presentó un fenómeno que en física llamamos resonancia. Es justo lo que ocurre cuando llevamos a un niño a pasear en un columpio. Lo empujamos suavemente para que la amplitud de la oscilación aumente hasta el punto donde la seguridad del infante no se pone en riesgo pero logramos que se sienta divertido.

En el caso de los edificios de la Ciudad de México ocurrió que las ondas sísmicas transmitieron energía de vibración a los edificios conforme transcurría el tiempo, haciendo que los límites de resistencia fueran superados.

El planteamiento matemático de Flores y colaboradores se llama en los métodos matemáticos de la física: un problema de eigenvalores. Cuando se resuelve ofrece varios números que pueden ser las frecuencias de vibración del sistema que estás tratando de resolver, y en su caso, tomaron aquella frecuencia que se acercara más a los datos del acelerograma.

El punto importante para aquella época fue que la distribución de la onda en el espacio de la gelatina pudo ser graficado para obtener un patrón de oscilación con valores máximos y mínimos. Una gráfica con la tecnología moderna, de un problema mucho más sencillo, es la siguiente:

En ésta los colores amarillos muestran las zonas de oscilación más amplia y los colores oscuros las de oscilación menos amplia.

La tecnología de hace 40 años no podía ofrecer tanta capacidad ilustrativa. El reporte de Flores y colaboradores mostró la gráfica de la figura 3 de su artículo:

En la figura 3 del artículo que venimos tomando como base se muestran varias letras, que corresponden a los siguientes sitios:

Letra	Zona de la Ciudad de México
A	Tlatelolco
B	Tepito
C	El Zócalo
D	La Alameda
E	Cruce de Avenida Reforma con Insurgentes.
F	Centro Médico
G	Edificio de la SCT

 

Un mapa moderno con los sitios indicados se aprecia enseguida:

Los sitios más afectados de la lista indicada en la tabla fueron Tlatelolco, Tepito y el Centro Médico, junto con el edificio de la SCT. El Zócalo y la Alameda son superficies planas, una con roca y la otra con árboles, de modo que allí no hubo daños, pero las zonas cercanas tuvieron daños graves. En el cruce de Reforma con Insurgentes hubo afectaciones pero no llegaron a tener la magnitud de daño de los sitios anteriores.

Durante los últimos cuarenta años el estudio de la sismología de la Ciudad de México ha progresado mucho, de modo que los resultados anteriores han sido plenamente superados. Especialmente porque el modelo utilizado tiene limitaciones importantes y porque los especialistas de la geofísica han desarrollado mucha más información, con más y mejores datos.

La utilidad del modelo que se comenta en esta contribución al blog muestra cómo puede trabajarse en física para acercarse a otras disciplinas científicas.

Cien años de la Mecánica Cuántica (el nacimiento de la mecánica matricial)

 

Hace cien años, el 29 de julio de 1925, se recibió en la revista Zeistchrift für Physics el primer artículo fundacional de la que vino a ser la formulación matricial de la mecánica cuántica.

Catorce días antes, en carta de Max Born a Albert Einstein, el primero le hacía saber acerca de varios trabajos que se estaban realizando en Gotinga, Alemania. Entre varias informaciones que se llevaban a cabo en ese año en ese centro de investigación, Born le escribió lo siguiente:

"El nuevo artículo de Heisenberg, que saldrá publicado pronto, resulta bastante enigmático, pero sin duda es correcto y profundo."

Se trata de la carta #49 del volumen intitulado “Born–Einstein Letters, 1916–1955”

En dicho libro, Born agreta un extenso comentario al final de la carta.

“Heisenberg me dio su manuscrito el dia 11 o 12 de julio, pidiéndome que decidiera si se debería publicar o si yo podría hacer algún otro uso de él. No lo leí de inmediato porque estaba cansado y ciertamente lo leí antes de escribirle a Einstein..."

Imagen oficial en el sitio de la universidad donde se aloja el Institut für Theoretische Physik

¿pero qué es la mecánica cuántica?

Es la teoría que permite describir los fenómenos que ocurren a nivel atómico y con partículas subatómicas. Permite calcular y predecir fenómenos asombrosos. Por ejemplo:

·         Es bien conocida la naturaleza discreta de la luz emitida por los gases. 

en lugar del espectro continuo de las lámparas y de diversos emisores de luz.

·         Antes del advenimiento de la teoría cuántica se separaba la física para estudiar cuerpos y partículas del estudio de las ondas, como el sonido, las olas y la luz, pero ahora los experimentos y razonamientos teórico-cuánticos obligaron a unir ambas descripciones en una sola. La razón es que la luz presenta las dos conductas, y como se descubrió después, lo mismo ocurre con los electrones.

·         Otro fenómeno interesante es el paso de partículas a través de barreras de energía que de acuerdo a la teoría clásica no podrían superar y en su lugar rebotarían como lo hace una pelota de juguete contra una pared. Éste se llama efecto túnel y es de uso cotidiano en los circuitos integrados de la electrónica moderna.

En el área industrial, los semiconductores, los instrumentos ópticos, la química industrial y farmacéutica, los materiales avanzados que recurren a la nanotecnología, la energía solar.

 

En un libro de la autoría de Heisenberg intitulado “Encuentros y conversaciones con Einstein y otros ensayos” publicado por Alianza Editorial, éste relata cómo surgió la idea de la famosa regla de multiplicación que posteriormente sería reconocida como una multiplicación de matrices y que daría la pauta para la formulación de la teoría cuántica con base en esta herramienta matemática.

Heisenberg menciona un artículo de Max Born, publicado en el año 1924, en el que se usó por primera vez la frase “mecánica cuántica”. El artículo se llamó justamente “Sobre la mecánica cuántica” y en opinión de Heisenberg se establecía claramente la diferencia entre la mecánica clásica y la cuántica estribaba en sustituir las ecuaciones diferenciales de la teoría clásica por ecuaciones de diferencias de la mecánica cuántica. Por eso me encomendó la tarea de estudiar la teoría de cuaciones de fierencias, muy desarrollada ya por los matemáticos. Lo cual hice con enorme placer estético, pero no sin la sensación  de que los problemas físicos nunca podrían resolverse desde la matemática pura. El verdadero impedimento – que a la sazón ya intuíamos, pero no comprendíamos – era el hecho de que todavía hablábamos, y teníamos que hablar, de órbitas electrónicas; porque las trayectorias electrónicas eran visibles en la cámara de nieblas, así que en el interior del átomo también tenía que haber órbitas electrónicas.

Más adelante, Heisenberg explica que en el otoño invierno de 1924-1925 había estado trabajando en Copenhague con Kramers acerca de la teoría de dispersión de la luz en materiales. Escribió “En relación con esto habían aparecido en las fórmulas del efecto Raman ciertas expresiones matemáticas que en la teoría clásica eran productos de series de Fourier, mientras que en la teoría cuántica había que sustituirlas evidentemente por análogos productos de series que tenían que ver con las amplitudes teórico-cuánticas de las líneas de emisión y absorción. La ley de multiplicación de estas series parecía sencilla y convincente. Tras regresar a Gotinga en el semestre de verano de 1925, una de las primeras discusiones con Born nos llevó a la conclusión de que debería yo itentar adivinar las amplitudes e intensidades correctas del hidrógeno a partir de las correspondientes fórmulas (según el principio de correspondencia) de la teoría clásica.”

Para aprender un poco sobre las series de Fourier y las amplitudes que menciona Heisenberg, recomiendo ir al final de este escrito para consultar una explicación breve sobre el tema.

En lo referente a los recuerdos de Heisenberg que he citado, cabe aclarar que, si bien él se refería a un trabajo desarrollado por él y Kramers, en ese tiempo el efecto Raman no existía enunciado como tal. En ese trabajo Heisenberg y Kramers desarrollaron un modelo semi clásico de la dispersión de luz, de modo que sistemas físicos que eran iluminados con una frecuencia luminosa podían emitir en otras frecuencias diferentes. El efecto Raman fue enunciado hasta 1928 pero había sido predicho teóricamente por el físico austriaco Adolf Gustav Stephan Smekal, quien publicó un artículo en 1923 en la revista Naturwissenschaften. Allí analizaba la interacción de la luz con materiales. Utilizando conceptos cuánticos disponibles en la época, logró demostrar que podía haber dispersión de luz en la cual la frecuencia emitida podría cambiar. La teoría de Heisenberg y Kramers no explica directamente el efecto, pero contiene las herramientas conceptuales para su interpretación con base en la teoría cuántica.

Para enterarse de qué se trata el efecto Raman, he añadido al final de este relato una explicación al respecto.

Regresando al trabajo fundacional de Heisenberg, éste abordó el problema sugerido Max Born, pero lo encontró demasiado complicado, de modo que optó por un sistema físico más simple pero que no fuera demasiado trivial. Para ese propósito agregó un término extra a la ecuación del oscilador armónico.

Hacia fines de mayo, o principios de junio de 1925, Heisenberg adquirió una enfermedad que suele llamarse fiebre del heno, que es una rinitis alérgica causada por una reacción del organismo a sustancias como el polen, los ácaros del polvo o el moho. Sus síntomas suelen incluir secreción nasal, picazón en los ojos, congestión y estornudos frecuentes. Lo curioso es que no es cierto que producen fiebre. Para recuperarse le pidió permiso a Born para retirarse a la isla de Helgoland, que se encuentra en el mar del Norte, al occidente de la actual línea divisoria de Dinamarca con Alemania.

A la izquierda un mapa de Alemania con sus fronteras actuales. Gotinga se marca en rojo. A la derecha la isla del Helgoland, marcada con un punto amarillo.

Lejos de campos llenos de flores, Heisenberg se recuperó y se dedicó a trabajar en el problema que tenía planteado. Sustituyó las coordenadas de posición por unas amplitudes que debían corresponder a las series de Fourier clásicas y escribió el término no lineal, x³, usando la regla de multiplicación que ya había utilizado junto con Kramers en sus estudios de teoría de dispersión de la luz

Sin embargo, al desechar las trayectorias se deshacía también de la regla de cuantización que había introducido Arnold Sommerfeld para generalizar la teoría de Niels Bohr para el átomo de hidrógeno, de modo que ahora tenía que encontrar una regla que ocupara su lugar.

Según Heisenberg, cuando le mostró el trabajo a Max Born, éste lo encontró interesante pero algo extraño porque el concepto de órbita había sido eliminado por completo. Aún así, decidió enviarlo a la revista Zeitschrift für Physik (Revista de Física), que había sido fundada en 1920 por la editorial Springer-Verlag y que después de una serie de fusiones desapareció para dar lugar a European Physical Journal C en los años 1990.

Entregado el trabajo, Heisenberg partió a atender invitaciones de Paul Ehrenfest y Ralph H. Fowler para dar conferencias en Holanda y en Inglaterra. Cuando regresó a Gotinga, se encontró con que su regla de multiplicación era un producto entre matrices. Una herramienta matemática desarrollada en el Reino Unido por James Joseph Sylvester hacia el año 1850 y  habían sido formalizadas por Arthur Cayley. Como se sabe ahora, en el siglo III antes de cristo algunos matemáticos chinos las habían inventado para trabajar con un método de solución de ecuaciones algebraicas, que es muy similar al ahora conocido como método de eliminación de Jordan. Lo interesante era que, inicialmente, Max Born había sido matemático, aprendió las matrices en Cambridge y después en Gotinga, donde además tenía la ventaja de estar en contacto con el gran matemático David Hilbert, y en menor medida, con Felix Klein.

Otro de los estudiantes de Max Born era Pascual Jordan, quien había colaborado con Robert Courant en la escritura de sus libros sobre Métodos Matemáticos de la Física, de modo que fueron justamente Born y Jordan quienes iniciaron la formalización de la nueva teoría cuántica por medio de matrices, dando origen a lo que ahora se llama formulación matricial de la mecánica cuántica. Heisenberg se incorporó algunos meses después, justo a tiempo para contribuir al artículo que da forma final a la formulación matricial de la teoría cuántica. En ocasiones se le llama “el artículo de los tres grandes” y fue publicado en el volumen 35 de la Zeitschrift für Physik. El facsímil del mismo establece que fue recibido el 16 de noviembre de 1925.

El viaje de Heisenberg no fue en vano. En Cambridge dictó una conferencia sobre su más reciente trabajo y dejó a Ralph H. Fowler una copia del artículo que contenía la regla de multiplicación. El joven Paul Dirac no estuvo presente, pero tan pronto como regresó recibió la copia del trabajo de Heisenberg con el encargo de que lo leyera. Así lo hizo, y de manera paralela, en los meses siguientes elaboró su propia teoría de la mecánica cuántica.

El trabajo de Dirac llevaba como título “The Fundamental Equations of Quantum Mechanics” y fue recibido por el Proceedings of the Royal Society A el 7 de noviembre de 1925. Él había trabajado con ideas similares a las de Heisenberg, pero lo había realizado de manera independiente y en total soledad. Establecía la conexión entre los conmutadores cuánticos y los corchetes de Poisson de la mecánica clásica.

 

¿Qué son las series de Fourier de las que hablaba Heisenberg?

Éstas se basan en las ondas senoidales, que son las más elementales posibles como se aprecia en la figura que sigue:

La de la parte superior es media onda, la que le sigue es una onda completa y la que se ubica hasta abajo son cuatro ondas y media. Si hablamos de sonido, la superior es un sonido más grave, similar a las teclas de la izquierda en un piano, en tanto que la de abajo equivale a un sonido más agudo, como las teclas de la derecha en un piano.

En el caso de las guitarras los sonidos graves se producen usando la cuerda sexta y los agudos mediante la cuerda primera.

Cuando se emite un sonido musical se trata de una combinación de muchas ondas senoidales, pero cada una con distinto peso, que se representan mediante las magnitudes b_n, que son las amplitudes a las que se refería Heisenberg, aunque el trataba con ondas de luz. Éstas varían de una onda a otra, como es el caso de la función f(x) que aparece en la fórmula del lado derecho.

¿qué es el efecto Raman?

Cuando vemos el amanecer en una zona desértica, como se aprecia en la siguiente fotografía tomada por Julio Saucedo recientemente:

tenemos que predominan tonalidades rojas. Esto se debe a un efecto de dispersión de la luz solar cuando atraviesa zonas de la atmósfera con una alta densidad de partículas de polvo extremadamente pequeñas. Se llama dispersión de Rayleigh y se caracteriza por el hecho de que la luz que llega a la partícula de polvo, o a una molécula, tiene la misma frecuencia al llegar y al salir, como se ve en la figura siguiente:

Ésta fue la primera que se estudió desde el siglo XIX y es la más intensa. Por esa razón fueron necesarios avances en la instrumentación lo suficientemente eficientes para encontrar que, además, aparecían otras frecuencias diferentes. Como se puede observar en la figura que sigue:

 

hay ondas luminosas con frecuencias diferentes. Eso es el efecto Raman.